Από διαγωνισμό!

Ορέστης Λιγνός · #1

Αν

θετικοί με γινόμενο ίσο με

, να δειχθεί ότι :

$\sum{\displaystyle\frac{1}{a+b+1}}\leq1$ .

sot arm · #2

Από ανισότητα ΑΜ-ΓΜ:
$\displaystyle a+b+1 \geq 3\sqrt[3]{ab} \Leftrightarrow \frac{1}{a+b+1} \leq \frac{1}{3\sqrt[3]{ab}}$
Όμοια και με τα άλλα έχω :
$\displaystyle\sum{\frac{1}{a+b+1}} \leq \sum{\frac{1}{3\sqrt[3]{ab}}}$
Εφαρμόζοντας ξανά την ΑΜ-ΓΜ
$\displaystyle\sum{\frac{1}{3\sqrt[3]{ab}}} \leq \frac{3}{\sqrt[3]{27\sqrt[3]{(abc)^{2}}}} = 1$
Από όπου έπεται το ζητούμενο.

Ορέστης Λιγνός · #3

Πώς προκύπτει το $\displaystyle\sum{\frac{1}{3\sqrt[3]{ab}}} \leq \frac{3}{\sqrt[3]{27\sqrt[3]{(abc)^{2}}}} = 1$ ;

Έχω κολλήσει

.

Nick Math · #4

Απλά: δίνεται ότι abc=1

με αντικατάσταση...

sot arm · #5

Ξανά απο ΑΜ-ΓΜ :
$\displaystyle\frac{1}{3\sqrt[3]{ab}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{ac}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{bc}} \leq 3\sqrt[3]{\frac{1}{27\sqrt[3]{(abc)^{2}}}} =\frac{3}{3}=1$

Ορέστης Λιγνός · #6

sot arm η

έχει ανάποδη φορά από αυτή που λες.

nick math τι ακριβώς εννοείς ; Γράψε μας ολοκληρωμένη λύση.

Ορέστης Λιγνός · #7

Να συμπληρώσω :

Η ανισότητα των μέσων AM-GM

είναι :

Αν a_1,a_2,a_n

θετικοί, τότε $\displaystyle{\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}}$

#8

sot arm έγραψε: $\displaystyle\sum{\frac{1}{3\sqrt[3]{ab}}} \leq 1$

Δεν αληθεύει. Π.χ. πάρε $a=b=10^{-3}, \, c=10^6$ .

Ορέστης Λιγνός · #9

Το παράδειγμα του κ. Λάμπρου είναι ότι καλύτερο για να καταλάβεις το λάθος σου .

Ορέστης Λιγνός · #10

Ας προσπαθήσουμε τώρα να λύσουμε την άσκηση , ξεχνώντας ό,τι έγινε πριν...(αρκεί βέβαια ο sot arm να κατάλαβε το λάθος του.)

Nick Math · #11

orestis26 έγραψε:sot arm η έχει ανάποδη φορά από αυτή που λες.

nick math τι ακριβώς εννοείς ; Γράψε μας ολοκληρωμένη λύση.

Εννοώ πως το

προκύπτει με αντικατάσταση όπου abc

το

.

Ορέστης Λιγνός · #12

Και μετά ; Ωραία, σύμφωνα με αυτά που περιγράφεις , αρκεί $\sum{\displaystyle\frac{1}{a+b+abc}}\leq1$ .

Μετά τι γίνεται ; Μπορεί να μην κατάλαβα εγώ κάτι καλά

. Σε ξαναπαρακαλώ λοιπόν να μας γράψεις ολοκληρωμένη λύση.

Φιλικά,
Ορέστης.

#13

orestis26 έγραψε:Αν θετικοί με γινόμενο ίσο με , να δειχθεί ότι :

$\sum{\displaystyle\frac{1}{a+b+1}}\leq1$ .

Ας είναι $\displaystyle{a=x^3,b=y^3,c=z^3}$ με $\displaystyle{xyz=1.}$

Τότε από την γνωστή $\displaystyle{x^3+y^3\geq xy(x+y)}$ για θετικούς $\displaystyle{x,y}$ είναι

$\displaystyle{\sum \frac{1}{a+b+1}=\sum \frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \sum \frac{1}{xy(x+y)+1}=\sum \frac{z}{x+y+z}=1.}$

Ορέστης Λιγνός · #14

Αυτή ακριβώς είναι η ενδεδειγμένη λύση κύριε Θάνο!

Από διαγωνισμό!

Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Re: Από διαγωνισμό!

Μέλη σε σύνδεση