Από ΔΜΟ!

Ορέστης Λιγνός · #1

Αν

θετικοί με abc=1

,να δείξετε ότι :

$\sum{\displaystyle\frac{1}{a^{n}(b+c)}\geq\frac{3}{2}$ με

φυσικό , $n\geq3$

#2

orestis26 έγραψε:Αν θετικοί με ,να δείξετε ότι :

$\sum{\displaystyle\frac{1}{a^{n}(b+c)}\geq\frac{3}{2}$ με φυσικό , $n\geq3$

$\color{brown}x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$\color{blue}\displaystyle{\frac{x_1^k}{a_1}+\frac{x_2^k}{a_2}+\dots+\frac{x_n^k}{a_n}\geq \frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)^k}{n^{k-2}(a_1+a_2+\dots +a_n)}\quad ,x_i,a_i>0,k\geq 2,k\in \mathbb N$

με την ισότητα για $\color{blue} x_1=x_2=\dots=x_n$ και $\color{blue} a_1=a_2=\dots=a_n$

Θέτουμε $\displaystyle{\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\quad ,xyz=1,ab=z,bc=x,ca=y}$

$\displaystyle{\sum{\frac{1}{a^{n}(b+c)}=\frac{x^{n-1}}{y+z}+\frac{y^{n-1}}{x+z}+\frac{z^{n-1}}{x+y}\geq \frac{(x+y+z)^{n-1}}{3^{n-3}(2(x+y+z))}=\frac{(x+y+z)^{n-2}}{2\cdot3^{n-3}}\geq \frac{3}{2}}$

Από ΔΜΟ!

Από ΔΜΟ!

Re: Από ΔΜΟ!

Μέλη σε σύνδεση