Quickies!

#1

Τα Quickies τα γνωρίζουμε από το Mathematics Magazine. Πρόκειται για προβλήματα τα οποία, αν και ίσως φαίνονται ορισμένες φορές δύσκολα ή φαίνεται ότι απαιτούν μακροσκελή απόδειξη, μπορούν να λυθούν μέσα σε δυο-τρεις γραμμές, αρκεί κανείς να βρει το κλειδί που τα "σπάει".
Φυσικά δε φιλοδοξώ να παραστήσω τον Murray Klamkin, αλλά κάνω την αρχή με ένα τέτοιο και αν υπάρχει ενδιαφέρον ας το συνεχίσουμε.

1o Quickie

Αν $\displaystyle{x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)-\left\{\frac{\pi}{4}\right\}}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{\ln \left(\frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)}\right)}{\ln (\tan x)} \in (2,4).}$

Λάμπρος Μπαλός · #2

matha έγραψε:Τα Quickies τα γνωρίζουμε από το Mathematics Magazine. Πρόκειται για προβλήματα τα οποία, αν και ίσως φαίνονται ορισμένες φορές δύσκολα ή φαίνεται ότι απαιτούν μακροσκελή απόδειξη, μπορούν να λυθούν μέσα σε δυο-τρεις γραμμές, αρκεί κανείς να βρει το κλειδί που τα "σπάει".
Φυσικά δε φιλοδοξώ να παραστήσω τον Murray Klamkin, αλλά κάνω την αρχή με ένα τέτοιο και αν υπάρχει ενδιαφέρον ας το συνεχίσουμε.

1o Quickie

Αν $\displaystyle{x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)-\left\{\frac{\pi}{4}\right\}}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{\ln \left(\frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)}\right)}{\ln (\tan x)} \in (2,4).}$

Μία αντιμετώπιση προς επαναφορά της άσκησης κυρίως αφού σίγουρα δεν βρήκα το κλειδί που τα "σπάει" , όπως λέει ο θεματοδότης και ΝΑΙ υπάρχει ενδιαφέρον και να συνεχιστούν αυτές οι προκλητικές και όμορφες ασκήσεις. Σκέψεις..

Φαντάζομαι πως μια λύση των δύο-τριών γραμμών δεν περιλαμβάνει περιπτώσεις στα διαστήματα $(0, \frac{\pi}{4})$ και $(\frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2})$ .

Εξάλλου , αν η συνάρτηση που ζητώ να φράξω ονομαστεί f(x)

, θα ισχύει :

$f(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{ln\frac{lnsinx}{lncosx}}{lncotx}=\frac{-ln\frac{lncosx}{lnsinx}}{-lntanx}=f(x)$ . Ό,τι συμβαίνει λοιπόν στο $(0, \frac{\pi}{4})$ , θα συμβαίνει και στο $(\frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2})$ . Ας δουλέψω μόνο στο $(0, \frac{\pi}{4})$ .

Ισοδύναμα, θέλω να αποδείξω ότι :

$2<\frac{ln\frac{lncosx}{lnsinx}}{lntanx}<4\Leftrightarrow 4lntanx<ln\frac{2lncosx}{2lnsinx}<2lntanx\Leftrightarrow lntan^{4}x<ln\frac{lncos^{2}x}{lnsin^{2}x}<lntan^{2}x\Leftrightarrow tan^{4}x<\frac{ln\frac{1}{tan^{2}x+1}}{ln\frac{tan^{2}x}{tan^{2}x+1}}<tan^{2}x$

Θα γράψω το $tan^{2}x$ ως

, ποσότητα που βρίσκεται στο διάστημα (0,1)

και ισοδύναμα πάλι θέλω να αποδείξω ότι :

$y^{2}<\frac{ln\frac{1}{y+1}}{ln\frac{y}{y+1}}<y\Leftrightarrow y^{2}<\frac{ln(y+1)}{ln\frac{y+1}{y}}<y\Leftrightarrow y^{2}ln\frac{y+1}{y}<ln(y+1)<yln\frac{y+1}{y}$

Αποδεικνύεται η τελευταία ανισοτική σχέση, με χρήση μονοτονίας ας πούμε και όχι ιδιαιτέρως ζορικά. Φυσικά δεν την παραθέτω καθώς κάτι τέτοιο θα κατέστρεφε την ανάρτηση. Θα περιμένω να δω τη μικρής έκτασης λύση, οπότε και επαναφέρω την άσκηση.

#3

Ασφαλώς και υπάρχει ενδιαφέρον!

Ίσως το κλειδί να είναι κάποια ανισοτική σχέση γνωστή στους μυημένους στην επίλυση διαγωνιστικών ανισοτήτων. Ίσως, πάλι, κάποιο ωαραίο τέχνασμα, το οποίο δεν το έχω δει.

Μια προσπάθεια που φτάνει ως ένα σημείο με σχολικά μαθηματικά.

Στο $\displaystyle \left( {0,\;\frac{\pi }{4}} \right)$ είναι $\displaystyle 1 > \cos x > \sin x > 0 \Rightarrow 0 > \ln \left( {\cos x} \right) > \ln \left( {\sin x} \right) \Rightarrow \left| {\ln \left( {\sin x} \right)} \right| >$

$> \left| {\ln \left( {\cos x} \right)} \right| > 0$ .

Για κάθε x > 0

η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \ln x$ είναι γνησίως αύξουσα.

Είναι $\displaystyle \frac{{\ln \left( {\frac{{\ln (\cos x)}}{{\ln (\sin x)}}} \right)}}{{\ln (\tan x)}} = \frac{{\ln \left| {\ln (\cos x)} \right| - \ln \left| {\ln (\sin x)} \right|}}{{\ln (\sin x) - \ln \left( {\cos x} \right)}} = \frac{{\ln \left| {\ln (\cos x)} \right| - \ln \left| {\ln (\sin x)} \right|}}{{\left| {\ln (\cos x)} \right| - \left| {\ln \left( {\sin x} \right)} \right|}}$

Στο $\displaystyle \left[ {\left| {\ln \left( {\cos x} \right)} \right|,\;\left| {\ln \left( {\sin x} \right)} \right|} \right]$ η f(x)

είναι συνεχής και στο $\displaystyle \left( {\left| {\ln \left( {\cos x} \right)} \right|,\;\left| {\ln \left( {\sin x} \right)} \right|} \right)$ παραγωγίσιμη, οπότε, από Θ.Μ.Τ., υπάρχει $\displaystyle \xi \in \left( {\left| {\ln \left( {\cos x} \right)} \right|,\;\left| {\ln \left( {\sin x} \right)} \right|} \right)$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle \frac{1}{\xi } = \frac{{\ln \left| {\ln (\cos x)} \right| - \ln \left| {\ln (\sin x)} \right|}}{{\left| {\ln (\cos x)} \right| - \left| {\ln \left( {\sin x} \right)} \right|}}$ .

Είναι $\displaystyle \left| {\ln \left( {\cos x} \right)} \right| < \xi < \;\left| {\ln \left( {\sin x} \right)} \right| \Leftrightarrow \frac{1}{{\left| {\ln \left( {\sin x} \right)} \right|}} < \frac{1}{\xi } < \frac{1}{{\left| {\ln \left( {\cos x} \right)} \right|}}\;$

Είναι
$\displaystyle 0 < x < \frac{\pi }{4} \Rightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} < \cos x < 1 \Rightarrow \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} < \ln \left( {\cos x} \right) < 0$

$\displaystyle \Rightarrow \left| {\ln \left( {\cos x} \right)} \right| > \left| {\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right| \Rightarrow \frac{1}{{\left| {\ln \left( {\cos x} \right)} \right|}} < \frac{1}{{\left| {\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|}} < 4$

Άρα $\displaystyle \frac{1}{\xi } < 4$ .

Ως εδώ καλά. Κατόπιν, όμως, δεν εντοπίζω κάποια βολική ανισότητα με την άλλη φορά. Αντίστοιχα δουλεύουμε στο άλλο διάστημα, αλλά σίγουρα δεν είχε αυτό στο νου του ο θεματοδότης. Μόνο "κουίκι" δεν το λές...

Είναι
$\displaystyle 0 < x < \frac{\pi }{4} \Rightarrow 0 < \sin x < \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \ln \left( {\sin x} \right) < \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 0 \Rightarrow \left| {\ln \left( {\sin x} \right)} \right| >$

$\displaystyle \left| {\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right| \Rightarrow \frac{1}{{\left| {\ln \left( {\sin x} \right)} \right|}} < \frac{1}{{\left| {\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|}} < 4$

makisman · #4

Ισως με αλλαγή βάσης στα ln και με χρηση τριγωνομετρικών κατι να εβγαινε.

#5

...Πρόκληση...

matha έγραψε:... αρκεί κανείς να βρει το κλειδί που τα "σπάει".

1o Quickie

Αν $\displaystyle{x\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)-\left\{\frac{\pi}{4}\right\}}$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\ln \left(\frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)}\right)}{\ln (\tan x)} \in (2,4).}$

Σκέψεις...

Αν γράψουμε με διαφορετικό τρόπο το κλάσμα

πχ $\displaystyle{\frac{\ln \left(\frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)}\right)}{\ln (\tan x)}=\ln_{\tan x} \left(\frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)}\right) =\ln_{\tan x} \left({\ln_{\sin x} (\cos x)}\right)}$

και αποδείξουμε $(\tan x)^2<\frac{\ln (\cos x)}{\sin x}<(\tan x)^4$

ή

$(\tan x)^2< \ln_{\sin x} (\cos x)}<(\tan x)^4 \iff (\sin x)^{(\tan x)^2}< (\cos x)}<(\sin x)^{(\tan x)^4}$

---
edit: βλέπω κάνω ίδιες σκέψεις με τον makisman
edit2: χμ... και θέλουμε πριπτώσεις ... $x\in (0,\frac{\pi}{4})\quad , x\in (\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$

dement · #6

Όπως εξήγησα στον Θάνο, αυτή η σχέση μού προέκυψε ενώ δούλευα πάνω στο άλλο ωραίο πρόβλημα που είχε στείλει (με την τριγωνομετρική ανισότητα).

Θεωρούμε, για δεδομένο $\displaystyle x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) - \left\{ \frac{\pi}{4} \right\}$ , τη συνάρτηση $f(t) = \sin^t x - \cos^t x, t > 0$ . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος f'(t)

μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο $\displaystyle t = \frac{\ln \left( \frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)} \right)}{\ln ( \tan x )}$ . Επίσης f(2) = f(4)

. Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.

Λάμπρος Μπαλός · #7

dement έγραψε:Όπως εξήγησα στον Θάνο, αυτή η σχέση μού προέκυψε ενώ δούλευα πάνω στο άλλο ωραίο πρόβλημα που είχε στείλει (με την τριγωνομετρική ανισότητα).

Θεωρούμε, για δεδομένο $\displaystyle x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) - \left\{ \frac{\pi}{4} \right\}$ , τη συνάρτηση $f(t) = \sin^t x - \cos^t x, t > 0$ . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο $\displaystyle t = \frac{\ln \left( \frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)} \right)}{\ln ( \tan x )}$ . Επίσης . Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.

#8

dement έγραψε:Όπως εξήγησα στον Θάνο, αυτή η σχέση μού προέκυψε ενώ δούλευα πάνω στο άλλο ωραίο πρόβλημα που είχε στείλει (με την τριγωνομετρική ανισότητα).

Θεωρούμε, για δεδομένο $\displaystyle x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) - \left\{ \frac{\pi}{4} \right\}$ , τη συνάρτηση $f(t) = \sin^t x - \cos^t x, t > 0$ . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο $\displaystyle t = \frac{\ln \left( \frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)} \right)}{\ln ( \tan x )}$ . Επίσης . Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.

#9

dement έγραψε:Όπως εξήγησα στον Θάνο, αυτή η σχέση μού προέκυψε ενώ δούλευα πάνω στο άλλο ωραίο πρόβλημα που είχε στείλει (με την τριγωνομετρική ανισότητα).

Θεωρούμε, για δεδομένο $\displaystyle x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) - \left\{ \frac{\pi}{4} \right\}$ , τη συνάρτηση $f(t) = \sin^t x - \cos^t x, t > 0$ . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο $\displaystyle t = \frac{\ln \left( \frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)} \right)}{\ln ( \tan x )}$ . Επίσης . Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.

Αυτή ακριβώς ήταν και η ιδέα κατασκευής του προβλήματος! Τόσο απλό, και συνάμα δύσκολο να το φανταστεί κανείς. (εκτός του Δημήτρη που το μυρίστηηκε αμέσως).
Πάντως υπάρχει περιθώριο βελτίωσης. Ισχύει

$\displaystyle{\frac{\ln \left( \frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)} \right)}{\ln ( \tan x )}<3}$

όπως φαίνεται από την απόδειξη του Γιώργου Ρίζου.

#10

matha έγραψε:
dement έγραψε:Όπως εξήγησα στον Θάνο, αυτή η σχέση μού προέκυψε ενώ δούλευα πάνω στο άλλο ωραίο πρόβλημα που είχε στείλει (με την τριγωνομετρική ανισότητα).

Θεωρούμε, για δεδομένο $\displaystyle x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) - \left\{ \frac{\pi}{4} \right\}$ , τη συνάρτηση $f(t) = \sin^t x - \cos^t x, t > 0$ . Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο μοναδικό σημείο $\displaystyle t = \frac{\ln \left( \frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)} \right)}{\ln ( \tan x )}$ . Επίσης . Έτσι, το ζητούμενο έπεται από το θεώρημα Rolle.
Αυτή ακριβώς ήταν και η ιδέα κατασκευής του προβλήματος! Τόσο απλό, και συνάμα δύσκολο να το φανταστεί κανείς. (εκτός του Δημήτρη που το μυρίστηηκε αμέσως).
Πάντως υπάρχει περιθώριο βελτίωσης. Ισχύει

$\displaystyle{\frac{\ln \left( \frac{\ln (\cos x)}{\ln (\sin x)} \right)}{\ln ( \tan x )}<3}$

όπως φαίνεται από την απόδειξη του Γιώργου Ρίζου.

Μπορώ να δείξω ότι ανήκει στο $\left(2,\frac{2}{\ln{2}}\right)$ το οποίο είναι και βέλτιστο.

Λάμπρος Μπαλός · #11

Ηταν πολύ όμορφη άσκηση και πολύ απολαυστική ή όλη πορεία προς τη λύση. Μπράβο.
Θα περιμένω την επόμενη.

Quickies!

Quickies!

Re: Quickies!

Re: Quickies!

Re: Quickies!

Re: Quickies!

Re: Quickies!

Re: Quickies!

Re: Quickies!

Re: Quickies!

Re: Quickies!

Re: Quickies!

Μέλη σε σύνδεση