Ανισότητα

vassilisg98 · #1

Να αποδείξετε ότι :
$\int_{e}^{e^e}\frac{x}{lnx}dx>\frac{e^4-e^2}{2}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Μήπως η φορά της ανισότητας είναι ΑΝΑΠΟΔΗ.

Συμπλήρωμα.21:50 3-6-16
Η φορά ήταν σωστή τα όρια ήταν λάθος.
Διαβάστε τα όλα και ίσως καταλάβετε.

nikkru · #3

vassilisg98 έγραψε:Να αποδείξετε ότι :
$\int_{e}^{e^2}\frac{x}{lnx}dx>\frac{e^4-e^2}{2}$

Η φορά της ανισοτικής σχέσης είναι ανάποδα. Θα δείξω ότι: $\int_{e}^{e^2}\frac{x}{lnx}dx<\frac{e^4-e^2}{2}$
Η συνάρτηση f(x)=lnx

είναι γνησίως αύξουσα και θετική για x>1

.
Για $e\leq x\leq e^{2}$ είναι $1\leq lnx\leq 2\Leftrightarrow 1\geq \frac{1}{lnx}\geq \frac{1}{2}\Leftrightarrow x\geq \frac{x}{lnx}\geq \frac{x}{2}(1)$ .
Ολοκληρώνοντας τα δύο πρώτα μέλη στο [e,e^2]

προκύπτει η ζητούμενη. ( Το

παραλείπεται, αφού η ισότητα στην (1)

ισχύει μόνο για x=e

.)

vassilisg98 · #4

Συγγνώμη λάθος άκρο...

Jason98 · #5

Η φορά της ανισότητας είναι σωστή. Δείτε και εδώ: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(i ... e%5E2)%2F2.

Λάμπρος Μπαλός · #6

vassilisg98 έγραψε:Συγγνώμη λάθος άκρο...

Θέτω

και το ολοκλήρωμα ισοδυναμεί με το $J = \int_{1}^{e} \frac{e^{2y}}{y} dy$

$y \leq e \Leftrightarrow \frac{1}{y} \geq \frac{1}{e} \Leftrightarrow \frac{e^{2y}}{y} \geq \frac{e^{2y}}{e} \Rightarrow J > [\frac{e^{2y}}{2e}]_{1}^{e}=\frac{e^{2e}}{2e}-\frac{e^{2}}{2e}=\frac{e^{2e}}{2e}-\frac{e}{2}> \frac{e^{4}-e^{2}}{2}$

αφού $e^{2e}-e^{2} > e^{5}-e^{3}$

vassilisg98 · #7

Παραθέτω και την δική μου λύση :
Θέτω $y=ln(lnx)\rightarrow dy=\frac{1}{xlnx}dx$ Αλλάζουμε τα άκρα τα οποία τώρα γίνονται

και

και είναι $x=e^{e^{y}}$
Το δοθέν ολοκλήρωμα γράφεται $I=\int_{0}^{1}{e^{2e^y}}dy$ .
Ακόμη γνωρίζουμε ότι : $e^y>y+1\rightarrow 2e^y>2y+2\rightarrow e^{2e^y}>e^{2y+2}$ για υ>0

. και ολοκληρώνοντας την ανισότητα καταλήγουμε στο ζητούμενο..

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση