Θεωρητική

#1

Αν η

είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(x)=e^{x-f(x)}$
τότε να αποδείξετε ότι:
i) Η συνάρτηση

είναι

.
ii) H

είναι γνησίως αύξουσα.
iii) Να βρείτε την τιμή της

στο

.
iv) Να εξετάσετε την

ως προς τα κοίλα-κυρτά.

Υ.Γ: Ωραίο θα ήταν να δείχναμε πως υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Υ.Γ

: Ωραίο θα ήταν να τεθούν και άλλα ερωτήματα αφού απαντηθούν τα ήδη υπάρχοντα.

#2

chris_gatos έγραψε:Αν η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(x)=e^{x-f(x)}$
τότε να αποδείξετε ότι:
i) Η συνάρτηση είναι .
ii) H είναι γνησίως αύξουσα.
iii) Να βρείτε την τιμή της στο .
iv) Να εξετάσετε την ως προς τα κοίλα-κυρτά.

Υ.Γ: Ωραίο θα ήταν να δείχναμε πως υπάρχει τέτοια συνάρτηση

Ξεκινάω δείχνοντας την ύπαρξη τέτοιας συνάρτησης.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x+\ln x,~x>0.}$

Η $\displaystyle{g}$ είναι φανερά γνησίως αύξουσα, άρα αντιστρέψιμη. Επειδή $\displaystyle{g}$ συνεχής και $\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}g(x)=-\infty}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty}$

το πεδίο ορισμού της $\displaystyle{g^{-1}}$ είναι το $\displaystyle{\mathbb{R}}$

και εύκολα βλέπουμε τώρα ότι $\displaystyle{g^{-1}=f.}$

BAGGP93 · #3

chris_gatos έγραψε:Αν η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(x)=e^{x-f(x)}$
τότε να αποδείξετε ότι:
i) Η συνάρτηση είναι .
ii) H είναι γνησίως αύξουσα.
iii) Να βρείτε την τιμή της στο .
iv) Να εξετάσετε την ως προς τα κοίλα-κυρτά.

i. Έχουμε $\displaystyle{f(x)\,e^{f(x)}=e^x\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Αν $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{f(x)=f(y)}$ , τότε

$\displaystyle{f(x)\,e^{f(x)}=f(y)\,e^{f(y)}\implies e^x=e^y\implies x=y}$ .

Επομένως, η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

ii.

Πρώτος τρόπος

Από τη σχέση $\displaystyle{f(x)\,e^{f(x)}=e^x\,,x\in\mathbb{R}}$ συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{f(x)>0\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$ .

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{x<y}$ και $\displaystyle{f(x)\geq f(y)}$ .

Τότε, $\displaystyle{e^{f(x)}\geq e^{f(y)}$ και επειδή $\displaystyle{f(x)\,,e^{f(x)}\,,f(y)\,,e^{f(y)}>0}$ παίρνουμε

$\displaystyle{f(x)\,e^{f(x)}\geq f(y)\,e^{f(y)}\implies e^x\geq e^y\implies x\geq y$ , άτοπο.

Άρα, για κάθε $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle{x<y\implies f(x)<f(y)}$ , που σημαίνει ότι η $\displaystyle{f}$

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Δεύτερος τρόπος

Παραγωγίζοντας τη σχέση που έχουμε, βρίσκουμε

$\displaystyle{f^\prime(x)\,e^{f(x)}+f(x)\,f^\prime(x)\,e^{f(x)}=e^x\implies f^\prime(x)=\dfrac{e^{x}}{(1+f(x))\,e^{f(x)}}>0\,,\forall\,x\in\mathbb{R}$

διότι (όπως πριν) $\displaystyle{f(x)>0\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$ .

Άρα, η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

iii. Είναι, $\displaystyle{f(1)\,e^{f(1)}=e}$ , που σημαίνει ότι $\displaystyle{h(f(1))=h(1)}$ , όπου

$\displaystyle{h:\left(0,+\infty\right)\to \mathbb{R}\,,h(x)=x\,e^{x}}$ .

Όμως, στο $\displaystyle{\left(0,+\infty\right)}$ η $\displaystyle{h}$ είναι γνησίως αύξουσα ως γινόμενο θετικών και

γνησίως αυξουσών σε αυτό, οπότε είναι και 1-1, άρα $\displaystyle{h(f(1))=h(1)\iff f(1)=1}$ .

iv.

Είναι, $\displaystyle{f^\prime(x)=\dfrac{e^{x}}{(1+f(x))\,e^{f(x)}}=\dfrac{f(x)}{1+f(x)}=1-\dfrac{1}{1+f(x)}\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Για $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{x<y}$ έχουμε

$\displaystyle{f^\prime(x)-f^\prime(y)=\dfrac{1}{1+f(y)}-\dfrac{1}{1+f(x)}=\dfrac{f(x)-f(y)}{(1+f(x))(1+f(y))}<0}$ .

Έτσι, η $\displaystyle{f^\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και η $\displaystyle{f}$ κυρτή σε αυτό.

1 ερωτήμα ακόμη

Να βρεθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x$

Tolaso J Kos · #4

BAGGP93 έγραψε:Να βρεθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x$

Γεια σας. Θαρρώ πως το ερώτημα θέλει ελαφρά τροποποίηση. Καταρχάς η

που είναι αντίστροφη της

που έδωσε πάνω ο Θάνος

matha έγραψε:Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x+\ln x,~x>0.}$ ... και εύκολα βλέπουμε τώρα ότι $\displaystyle{g^{-1}=f.}$

δεν έχει κλειστό τύπο συναρτήσει γνωστών συναρτήσεων παρά εκφράζεται με κάποιες ειδικές συναρτήσεις. Τώρα, για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1}f(x)\, {\rm d}x &= \int_{0}^{1}g^{-1}(x)\, {\rm d}x \\ &\!\!\!\!\!\overset{x=g(u)}{=\! =\! =\! =\!} \int_{g^{-1}(0)}^{1} u g'(u)\, {\rm d}u \\ &=\int_{f(0)}^{1} u g'(u)\, {\rm d} u \\ &= \int_{f(0)}^{1} u \left ( 1 + \frac{1}{u} \right ) \, {\rm d}u \\ &= \left [ \frac{u^2}{2} + \ln u \right ]_{f(0)}^{1} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{f^2(0)}{2} - \ln f(0) \end{aligned}}$

Εκκρεμεί βέβαια να δείξουμε ότι f(0)>0

, το οποίο είναι απλό και το αφήνω.

#5

Tolaso J Kos έγραψε:Θαρρώ πως το ερώτημα θέλει ελαφρά τροποποίηση. Καταρχάς η που είναι αντίστροφη της που έδωσε πάνω ο Θάνος

matha έγραψε:Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x+\ln x,~x>0.}$ ... και εύκολα βλέπουμε τώρα ότι $\displaystyle{g^{-1}=f.}$
δεν έχει κλειστό τύπο συναρτήσει γνωστών συναρτήσεων παρά εκφράζεται με κάποιες ειδικές συναρτήσεις.

Επειδή μας διαβάζουν μαθητές και φοιτητές, και για να μην αποκομίζουν εσφαλμένες εντυπώσεις, ας τονίσω ότι το γεγονός ότι η $f^{-1}$ δεν εκφράζεται στοιχειωδώς ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΚΑΜΙΑ ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΕΠΙΠΤΩΣΗ στην αποδοχή της λύσης του Θάνου.

Στα Μαθηματικά είναι πολύ συχνό το φαινόμενο μία ποσότητα να προσδιορίζεται υπαρξιακά, αλλά να μην μπορούμε να καταγράψουμε την τιμή της. Αυτό δεν σημαίνει ότι "το ερώτημα θέλει τροποποίηση". Για παράδειγμα δεν μπορούμε να καταγράψουμε την $\sqrt 2$ . Το μόνο που ξέρουμε είναι ότι υπάρχει θετικός αριθμός με x^2=2

. Αφού πεισθούμε ότι υπάρχει, τον ονομάζουμε/συμβολίζουμε $\sqrt 2$ . Όμοια, το Θ.Μ.Τ. και το Θεώρημα Rolle είναι υπαρξιακά, και συνήθως το " $\xi$ " που δίνουν δεν εκφράζεται στοιχειωδώς. Το λοιπόν; Για ποια τροποποίηση συζητάμε;

Λάμπρος Μπαλός · #6

Να αποδείξετε ότι η $C_{f}$ δεν έχει ασύμπτωτη στο $+ \infty$

makisman · #7

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Να αποδείξετε ότι η $C_{f}$ δεν έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$

απο τη σχεση $\displaystyle{f(x)e^{f(x)}=e^x\Rightarrow lnf(x)+f(x)=x\Rightarrow f(x)\geq \frac{x}{2}$ άρα $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty}$ ,και δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη.

Έστω οτι υπάρχει πλάγια ασύμπτωτη τότε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x}=l\neq 0$ ,απόπου ευκολα έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$ εφόσον f(x)>0

$\displaystyle{f(x)e^{f(x)}=e^x\Rightarrow lnf(x)+f(x)=x\Rightarrow \frac{lnf(x)+f(x)}{f(x)}=\frac{x}{f(x)}$

όμως $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{lnf(x)+f(x)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{lnu+u}{u}=1$

άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x}{f(x)}=1 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f(x)}{x}=1$

από τη σχεση $\displaystyle{lnf(x)+f(x)=x\Rightarrow f(x)-x= -lnf(x)$ με $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } (f(x)-x)=\lim_{x\rightarrow +\infty } ( -lnf(x))=-\infty \notin R$

άρα δεν υπάρχει πλάγια ασύμπτωτη.

mathematica.gr

Θεωρητική

Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Re: Θεωρητική

Μέλη σε σύνδεση