ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

[S.E.Louridas]

Αριθμοθεωρίας άσκηση:

● Υπάρχουν στιγμές που η αναγκαιότητα αντικαθιστά την σκοπιμότητα και η αναγκαιότητα στην περίπτωσή μας είναι να δίνουμε παραδείγματα στα νεαρά Μαθηματικά ταλέντα που να είναι κοντά τους ηλικιακά και ταυτόχρονα να εμπνέουν.
Είναι αναγκαίο λοιπόν να αναφέρω ότι το προτεινόμενο πρόβλημα που θα ακολουθήσει είναι από το νεοεκδοθέν βιβλίο ‘Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών’ των συγγραφέων: Αλέξανδρου Χ. Παπαϊωάννου – Μιχαήλ Θ. Ρασσιά(Εκδόσεις Συμμεων).
Ας μου επιτραπεί λοιπόν να αναφέρω ότι είχα την τύχη να ήμουν εκ των διδασκόντων στην τροπαιούχα ομάδα της Ε. Μ. Ε. της οποίας μέλος ήταν και ο συγγραφέας
Μιχαήλ Θ. Ρασσιάς ο οποίος σε ηλικία μόλις 16 χρόνων εκτός των άλλων έγινε κάτοχος του ΑΣΗΜΕΝΙΟΥ Μεταλλίου στην 44η - Ι. Μ. Ο. που έγινε στην Ιαπωνία 7-19 Ιουλίου 2003(Τόκυο) . Σήμερα μόλις 22 χρόνων είναι τελειόφοιτος του Ε.Μ.Π. και με χαρά διάβασα στον πρόλογο του βιβλίου αυτού (από αντίτυπο το οποίου μου έστειλε) ότι ο διεθνής εκδοτικός οίκος Springer, θα εκδώσει το βιβλίο του με τίτλο:
Problem-Solving to Selected Topics in Number Theory: An Olympic Approach.


● Έστω n θετικός ακέραιος και
οι μικρότεροι θετικοί ακέραιοι διαιρέτες του n με

Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί n, τέτοιοι ώστε να ισχύει:


S. E. Louridas

[lefteris mastoris]

Κυριε Λουριδα γεια σας.Νομιζω οτι εχω μια λυση αλλα δυστυχως δεν ειμαι σιγουρος για το αν μπορω να θεωρησω οτι ο μικροτερος απο αυτους ,ο ειναι ισος με την μοναδα η αν πρεπει να ειναι μεγαλυτερος η ισος του 2.....Αν μπορει καποιος να μου απαντησει θα χαιρομουν πολυ..

ΛΕΥΤΕΡΗΣ ΜΑΣΤΟΡΗΣ

[Demetres]

Έτσι όπως γράφτηκε το πρόβλημα έχουμε . Βρίσκω .

[S.E.Louridas]

Το πρόβλημα Δημήτρη ειναι όπως ακριβώς αναφέρεται στο βιβλίο και η απάντηση που έδωσες είναι η σωστή.

S.E.Louridas

[Ilias_Zad]

Yep παλιο προβλημα ΒΜΟ 1 αν δεν κανω λαθος.
Αξιζει την προσπαθεια κατα την γνωμη μου απο καποιον που δεν το εχει ξαναδει.

[lefteris mastoris]

Ωραια τοτε!!!!Οπως ειπαμε, .Αν και οι 4 αριθμοι ειναι περιττοι, τοτε κανενας διαιρετης του n δεν ειναι αρτιος ,αρα ο n ειναι περιττος ,ατοπο αφου .Αρα καποιος ειναι αρτιος αρα .Αν ,tote και αφου ο διαιρει τον n πρεπει να διαιρει το 14 κατι που προφανως δινει που με επαληθευση οπως βλεπω εγω τουλαχιστον δεν μας δινει λυση.Ακομη αν ο n ειναι πολλαπλασιο του 4 τοτε ατοπο.Αρα η μοναδικη δυναμη του 2 που διαρει τον n ειναι ο ιδιος ο 2.Τωρα,αν το παμε mod 10, ειναι γιατι ο n ειναι αρτιος.Ομως τα τετραγωνικα υπολοιπα mod10 einai 0,1,4,5,6,9 οποτε απο τις παραπανω σχεσεις προκυπτει οτι και αφου διαιρει τον n ειναι και διαιρει τον 30 και παιρνοντας ολες τις περιπτωσεις, βγαινει ,.....Ελπιζω να μην εκανα κανενα λαθος γιατι παιδευτηκα αρκετα με το latex!!!!!!
ΛΕΥΤΕΡΗΣ

[Demetres]

Yep παλιο προβλημα ΒΜΟ 1 αν δεν κανω λαθος.
Αξιζει την προσπαθεια κατα την γνωμη μου απο καποιον που δεν το εχει ξαναδει.

Κι' έλεγα κάτι μου θυμίζει...

Τωρα,αν το παμε mod 10, ειναι γιατι ο n ειναι αρτιος.Ομως τα τετραγωνικα υπολοιπα mod10 einai 0,1,4,5,6,9 οποτε απο τις παραπανω σχεσεις προκυπτει οτι

Έχω την εντύπωση ότι υπάρχει λάθος εδώ.

[lefteris mastoris]

Νομιζω οτι επρεπε να το εξηγησω καλυτερα..Απλα επειδη αυριο ξεκιναω την χρονια με διαγωνισματα, δεν ειχα πολυ χρονο...Μολις ερθω αυριο ομως θα γραψω πιο αναλυτικα την λυση μου αφου υπαρχουν ασαφειες...Το 5 δεν βγαινει τελικα??

[silouan]

Αρχικά έχουμε ότι . Παίρνοντας mod 4 εύκολα επίσης βλέπουμε ότι θα πρέπει άρτιος, άρα , άρα . Από την τελευταία βγάζουμε ότι ένας εκ των είναι άρτιος.
Αν ο , τότε αφού και , πρέπει ή .
Aν τότε , άτοπο. Αν , τότε , άτοπο αφού τότε .

Άρα . Τότε αφού και . Πρέπει (άτοπο) ,ή (άτοπο όπως και πριν) ή . Επομένως , άρα 5|n , άρα και , που μας δίνει .

Σιλουανός

[Aristeidis Doumas]

Είναι αλήθεια ότι οι Αριθμοί αγγίζουν τις ψυχές όσων αγαπούν πραγματικά τα Μαθηματικά. Αυτό προφανώς συμβαίνει και στον κ.Μιχαήλ Ρασσιά, που με το πολύ ενδιαφέρον σύγγραμμά του καταθέτει μόνο ένα δείγμα από αυτά που θα μας παρουσιάσει στο μέλλον.

Είχα την ευκαιρία να διαπιστώσω το πηγαίο ενδιαφέρον του για τα Μαθηματικά, όταν προ τριετίας παρακολούθησα στο Ε.Μ.Π. μία ομιλία του με θέμα την συνάρτηση ζήτα του Riemann, την οποία παρουσίασε με αξιοθαύμαστη ευχέρεια.

Εύχομαι αληθινά στον κ.Μιχαήλ Ρασσιά κάθε επιτυχία.

Δούμας Β. Αριστείδης
Μαθηματικός