Δύσκολη Άσκηση

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 582
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Δύσκολη Άσκηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. »

Να υπολογίστετε την τιμή της παράστασης:
A=\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{...}}}}
(Δικής μου κατασκευής η συγκεκριμένη, ωστόσο ο τύπος άσκησης γνωστός.)
*(Για την αντιμετώπιση απαιτείται ένα θεώρημα ενός γνωστού μαθηματικού)
Bye :')
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15032
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δύσκολη Άσκηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis »

Καλημέρα.

Γράψε σε παρακαλώ, σε ποια τάξη (Γυμνασίου ή Λυκείου) αναφέρεται η άσκηση, ώστε να μπορούν να την προσεγγίσουν οι κατάλληλοι μαθητές.
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18707
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δύσκολη Άσκηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

JimNt. έγραψε:Να υπολογίστετε την τιμή της παράστασης:
A=\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{...}}}}
(Δικής μου κατασκευής η συγκεκριμένη, ωστόσο ο τύπος άσκησης γνωστός.)
*(Για την αντιμετώπιση απαιτείται ένα θεώρημα ενός γνωστού μαθηματικού)
Η άσκηση είναι επιεικώς ΑΠΑΡΑΔΕΚΤΗ για μαθητές. Γι' αυτό γράφω, ώστε να προστατευθούν
οι μαθητές από ανεύθυνη τοποθέτηση άσκησης της οποίας η λύση απαιτεί πολύ περισσότερες
γνώσεις από αυτές που έχουν. Και σίγουρα ο θεματοθέτης (μαθητής Β Γυμνασίου) δεν είναι σε
θέση να αντιληφθεί το απαιτούμενο υπόβαθρο.

Η ουσία της άσκησης είναι μία διαδικασία με όρια.

Όπως και να είναι, η άσκηση έχει συζητηθεί

εδώ , εδώ και εδώ

όπου έχω αναρτήσει δύο λύσεις (πέρα ως πέρα έξω από τις γνώσεις μαθητών).

Αγαπητέ JimNt, καλό είναι μένεις σε πιο σεμνά επίπεδα και να θέτεις μόνο θέματα
που μπορείς να χειριστείς.

Το να πάρεις έναν έτοιμο τύπο (που άλλωστε οι μαθητές δεν γνωρίζουν) και στην θέση του n
βάλεις π.χ. 3, μεγάλη σοφία, δεν είναι ερώτηση. Και μάλιστα, αν ξέρεις τον τύπο, η άσκηση
είναι ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΗ οπότε δεν βλέπω το νόημα να την ονομάσεις "Δύσκολη 'Ασκηση".

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος. Αν το καλοσκεφτείτε είπε τα ίδια πράγματα αλλά ήταν πιο ευγενικός...
Να 'σαι καλά Γιώργο
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 582
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Δύσκολη Άσκηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. »

Γεια σας. Εγώ προσωπικά έιχα διαβάσει ένα βιβλίο σχετικά με τον Ramanujan, όπου υπήρχε το ακόλουθο:
\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{...}}} Και έδινε μετά έναν τύπο πολύ περίπλοκο(πράγμα φυσικό αφού ήταν ιδιοφυία). Έπειτα από το αποτέλεσμα παρατήρησα ότι για κάθε θετικό ακέραιο n που μπορεί να παρασταθεί με την μορφή n=m+1 , όπου m φυσικός ισχύει
\sqrt{1+m\sqrt{1+(m+1)\sqrt{...}}}, και χρησιμοποίησα αυτόν τον τύπο. Σε κάθε περίπτωση κάποιος μαθητής εξοικειωμένος με την διάσπαση ριζών, θα μπορούσε να δημιουργήσει μια πατέντα ή να πάει στα τυφλά ξεκινώντας από τους μικρότερους φυσικούς (στην προκειμένη περίπτωση το αποτέλεσμα είναι 5, οπότε δεν θα ήταν χρονοβόρα η διαδικασία εύρεσης του).
Bye :')
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 582
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Δύσκολη Άσκηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. »

Επιπλέον, σε διάφορους μαθηματικούς διαγωνισμούς, κάποιες ασκήσεις απαιτούν την γνώση θεωρημάτων και δεν δίνουν στον μαθητή δυνατότητα επίλυσης με πρακτική αριθμητική.
Bye :')
Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18707
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δύσκολη Άσκηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou »

JimNt. έγραψε:ισχύει
\sqrt{1+m\sqrt{1+(m+1)\sqrt{...}}}, και χρησιμοποίησα αυτόν τον τύπο. .
Ακριβώς αυτό επεσήμανα όταν έγραφα
Mihalis_Lambrou έγραψε: Το να πάρεις έναν έτοιμο τύπο (που άλλωστε οι μαθητές δεν γνωρίζουν) και στην θέση του n
βάλεις π.χ. 3, μεγάλη σοφία, δεν είναι ερώτηση. Και μάλιστα, αν ξέρεις τον τύπο, η άσκηση
είναι ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΗ οπότε δεν βλέπω το νόημα να την ονομάσεις "Δύσκολη 'Ασκηση".
JimNt. έγραψε:Σε κάθε περίπτωση κάποιος μαθητής εξοικειωμένος με την διάσπαση ριζών, θα μπορούσε να δημιουργήσει μια πατέντα ή να πάει στα τυφλά ξεκινώντας από τους μικρότερους φυσικούς
Αυτό που δεν έχεις αντιληφθεί είναι ότι εδώ έχουμε άπειρα ριζικά, και η επεξεργασία τους θέλει Μαθηματικά που ΔΕΝ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ο μαθητής (και αναμφίβολα, ούτε εσύ).
JimNt. έγραψε:Επιπλέον, σε διάφορους μαθηματικούς διαγωνισμούς, κάποιες ασκήσεις απαιτούν την γνώση θεωρημάτων και δεν δίνουν στον μαθητή δυνατότητα επίλυσης με πρακτική αριθμητική.
Ας επαναλάβω γιατί δεν έγινε κατανοητό: Το να πάρουμε έτοιμο τύπο και η συμβολή μας είναι μόνο να θέσουμε συγκεριμένη τιμή στο n, δεν είναι ενδιαφέρον ή βαθύ στα Μαθηματικά.
Κορυφή
Κοτσόβολης Γιώργος
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 14, 2015 12:29 pm

Re: Δύσκολη Άσκηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτσόβολης Γιώργος »

Καλημέρα :)
Προτείνω μια λύση ενδιαφερόμενος να μάθω από πιο έμπειρα μάτια αν η αντιμετώπιση έχει κενά.(Σε hide αφού σε ΚΑΜΙΑ περίπτωση δεν είναι σχολική).
Θεωρώντας την ακολουθία a_{n}=\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{...\sqrt{1+n}}}} έχουμε ότι
\sqrt{1+(n+1)}\geq 1 και συνεπώς a_{n+1}\geq a_{n}.
Ακόμα αν b_{n}=\sqrt{1+n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{...\sqrt{1+k}}}} για n=1,2,3,...,k και για ένα δεδομένο k τότε ισχύει με επαγωγή πως n+1\geq b_{n} :
Για n=k είναι προφανές.Έστω πως ισχύει n+1\geq b_{n} τότε n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)}\geq \sqrt{b_{n}(n-1)+1}=b_{n-1}.
Όμως b_{4}=a_{k} και επομένως η ακολουθία a_{n} είναι αύξουσα και άνω φραγμένη από το 5.Επομένως συγκλίνει και ο Α είναι πραγματικός αριθμός.
Έστω 1>s>0.Τότε αρκεί να δείξω πως υπάρχει k τέτοιο ώστε s\geq 5-a_{k} ,ή αλλιώς a_{k}\geq 5-s,ή b_{4}\geq 5-s.Έστω d_{n} ακολουθία με d_{1}=s και d_{n+1}=2d_{n}\frac{n+4}{n+3} - \frac{d_{n}^{2}}{n+3}
Aν θέλω να δείξω ότι ισχύει b_{n+3}\geq n+4-d_{n} ή 1+(n+3)b_{n+4}\geq (n+4-d_{n})^{2} ή b_{n+4}\geq n+5 -d_{n+1}.
Επαγωγικά πρέπει να δείξω ότι υπάρχει k τέτοιο ώστε b_{k}\geq k+1 -d_{k-3}.
Αν υπάρχει n ώστε d_{n}\geq n+3 Τότε επιλέγω το n αυτό και έχω τελειώσει.
Αν όχι τότε επαγωγικά όλοι οι όροι είναι θετικοί και d_{n+1}\geq d_{n}\frac{n+4}{n+3} ,επομένως η d_{n} είναι αύξουσα.Τότε:
Ισχύει \frac{d_{n+1}}{n+4}> \frac{d_{n}}{n+3} και επομένως η q_{n}=\frac{d_{n}}{n+3} είναι αύξουσα και φραγμένη από το 1.Επομένως συγκλίνει στο a,πραγματικό αριθμό.
Ισχύει ότι q_{n+1}=2q_{n}-(q_{n})^{2}\frac{n+3}{n+4} από όπου a=2a-a^{2} και άρα a=1.Άρα η q_{n} συγκλίνει στο 1.Έστω,τέλος k_{n}=n+4-d_{n}.Τότε από την αναδρομική για το d_{n} έχω ότι k_{n+1}(n+3)=k_{n}^{2}-1 < k_{n}^{2}.Αφού k_{n}=n+4 - d_{n}<n+3 για n>l για κάποιο l, αφού η d_{n} αποκλίνει θα έχω ότι για n>l η k_{n} είναι φθίνουσα και φραγμένη από το 1.Άρα συγκλίνει στο m>0 πού είναι άτοπον από την k_{n+1}(n+3)=k_{n}^{2}-1.
Τελική απάντηση το 5.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες