Άπειρες λύσεις!

#1

Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρες τριάδες πραγματικών αριθμών (x, y, z)

τέτοιες ώστε

$\displaystyle{x^2+y = y^2+z= z^2 + x}$

και $x\ne y\ne z \ne x.$

#2

Επαναφορά!

#3

Μια λύση:
http://artofproblemsolving.com/community/c6h1151566

Αρχιμήδης 6 · #4

Δεν με καλύπτει η λύση του Patrick (σπάνιο αυτό) οπότε ας βρούμε όλες τις λύσεις παραμετρικά.

x^2+y=y^2+z=z^2+x

(1)

Θέτω

x+y=a

άρα αρκεί να λύσω το παρακάτω σύστημα

ab=d

$cd=\dfrac{c+d-a-b}{2}$
a-b=c-d

Άρα αρκεί να λύσω το παρακάτω σύστημα

2abc=c+ab-a-b

άρα $c=\dfrac{ab-a-b}{2ab-1}$
a-b=c-ab

άρα

Τώρα μένει να εξισώσω το

και τελικά θα έχω

$(a,b,c)=(a,\dfrac{-2a^2+2a-2}{2a^2-2a},ab+a-b)$ άρα

$(x,y,z)=(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a-b}{2},\dfrac{c+ab}{2})$

Δεν τις εκφράζω μόνο με την μεταβλητή

γιατί θα χάσω χρόνο.

Θα δώσω και ένα παράδειγμα τέτοιας τριάδας

Για a=2

, $(a,b,c)=(2,\dfrac{-3}{2},\dfrac{1}{2}$ άρα θα έχω $(x,y,z)=(\dfrac{1}{4},\dfrac{7}{4},\dfrac{-5}{4})$

*Στην παραπάνω μέθοδο πρέπει να λάβω υπόψιν οτι οι παρανομαστές είναι μη μηδενικοί άρα και τους αντίστοιχους περιορισμούς μας...

Άπειρες λύσεις!

Άπειρες λύσεις!

Re: Άπειρες λύσεις!

Re: Άπειρες λύσεις!

Re: Άπειρες λύσεις!

Μέλη σε σύνδεση