Εύκολη Διοφαντική

JimNt. · #1

Να βρείτε τις ακεραιες λύσεις της εξίσωσης $54x^{3}-1=y^{3}$

Ορέστης Λιγνός · #2

JimNt. έγραψε:Να βρείτε τις ακεραιες λύσεις της εξίσωσης $54x^{3}-1=y^{3}$

Επαναφορά, αν και δεν μου φαίνεται τόσο για junior...

JimNt. · #3

Να δώσω λύση;

Ορέστης Λιγνός · #4

Όχι, άφησε την μία δύο μέρες ακόμη.

Αρχιμήδης 6 · #5

Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού

...

JimNt. · #6

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού ...

Εγω την έλυσα με modulo στο δεύτερο μέλος.

Αρχιμήδης 6 · #7

Βάλε την λύση σου αν θες.Θα δώσω και την δική μου.

JimNt. · #8

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις για το αριστερό μέλος.

$y^{3} \equiv 0 (mod3)$ $\Leftrightarrow$ $54x^{3}-1\equiv 0 (mod3)$ άτοπο (αφού $54x^{3} \equiv 0 (mod3)$ .

$y^{3} \equiv 1 (mod3)$ $\Leftrightarrow$ $54x^{3}-1\equiv 1 (mod3)$ , άτοπο (αφού $54x^{3}-1 \equiv -1 (mod3)$

$y^{3} \equiv 2/-1(mod3)$ $\Leftrightarrow$ $54x^{3}-1\equiv 2/-1(mod3)$ , που ισχύει. Συνεπώς, η αρχική μπορεί να γραφτεί:
$54x^{3}-1=(3k-1)^{3}$ , όπου $k\in\mathbb {Z}$ . Για x=k

, παίρνουμε x=k=0

, που δίνει το ζεύγος (x,y)=(0,-1)

Θα αποδείξω ότι είναι η μοναδική λύση:
Από FLT $(3k-1)^{3} \equiv 3k-1 (mod3)$ $\Leftrightarrow$ $54x^{3} -1 \equiv 3k-1 (mod3)$ . Αφού όμως είναι $54x^{3} -1 \equiv -1 (mod3)$ έπεται ότι 3k-1 = -1

ή

. (Και έτσι προκύπτει το ζεύγος που ήδη βρήκαμε). (Βασικά το τελευταίο είναι λάθος

.Δεν μπορώ να αποδείξω πως είναι η μοναδική.)

Αρχιμήδης 6 · #9

Καλή προσπάθεια Δημήτρη αλλά δεν θα μας ξεφύγει η εξίσωση...

Θα δώσω την λύση μου με διοφαντική ανάλυση.Στο τελευταίο βήμα μου θα θεωρήσω γνωστώ τις λύσεις της κυβικής εξίσωσης του Fermat.(από κινητό).

54x^3=y^3+1

Ουσιαστικά είναι η μια περίπτωση της 2a^3=b^3+1

δηλαδή για b=2mod3

Θα υπάρχουν k,l

ώστε

,

(Αυτό γιατί η μέγιστη δύναμη του

πού διαιρεί την x^2-x+1

είναι

και είναι περιττός αριθμός.)

Μετά από αντικατάσταση του

τελικά θα έχω

3(6k^3)^2-3(6k^3)+1=l^3

οπότε ας θέσω

6k^3=m

άρα η τελευταία θα γίνει

3m^2-3m+1=l^3

οπότε εύκολα βλέπω ότι η αρχική εξίσωση έχει μόνο τετριμμένες λύσεις...

#10

JimNt. έγραψε:
Αρχιμήδης 6 έγραψε:Εξαρτάται το πόσο εύκολη βλέπεις την εξίσωση Fermat βαθμού ...
Εγω την έλυσα με modulo στο δεύτερο μέλος.

Όταν υπάρχει τουλάχιστον μία αλλά πεπερασμένος αριθμός λύσεων τότε συνήθως δεν μπορούμε να λύσουμε την διοφαντική χρησιμοποιώντας μόνο (πεπερασμένο πλήθος από) modulo.

Αν π.χ. στο συγκεκριμένο πρόβλημα δουλέψουμε modulo 3 και modulo 4 τότε σίγουρα δεν μπορούμε να απορρίψουμε την περίπτωση $x \equiv 0 \bmod 12$ (αφού η (0,1)

είναι λύση) και άρα τα $x = \pm 12, \pm 24,\ldots$ πρέπει να τα απορρίψουμε με άλλο τρόπο.

Αρχιμήδης 6 · #11

Πολύ ωραία.

Να πάμε λίγο πίσω στην εξίσωση.

Όπως είπα η εξίσωση 54x^3=y^3+1

(1) είναι ισοδύναμα η 2(3x)^3=y^3+1

άρα είναι ειδική περίπτωση της 2a^3=b^3+1

(2) για

Η εξίσωση

με λίγο παραπάνω προσοχή είναι ειδική περίπτωση της k^3+1=l^2

(3)

Πράγματι από την (2) θα υπάρχει

ώστε

(4)

(5)

Πράγματι αν αφαιρέσω θα έχω τις (4),(5) θα έχω την (2) . H (2) είναι ισοδύναμη με το σύστημα (4),(5)

Από (4),(5) θα ισχύει

z^2-1=(2ab)^3

Άρα έχω μια γενικότερη εξίσωση την p^2=q^3+1

Συμπέρασμα:

Το σύνολο των λύσεων της 54x^3=y^3+1

είναι υποσύνολο του συνόλου των λύσεων της p^2=q^3+1

Έσβησα το υπόλοιπο γιατί είχε ένα σφάλμα που μου ξέφυγε ...

Ήθελα να τονίσω την συγγένεια των εξισώσεων .

Εύκολη Διοφαντική

Εύκολη Διοφαντική

Re: Εύκολη Διοφαντική

Re: Εύκολη Διοφαντική

Re: Εύκολη Διοφαντική

Re: Εύκολη Διοφαντική

Re: Εύκολη Διοφαντική

Re: Εύκολη Διοφαντική

Re: Εύκολη Διοφαντική

Re: Εύκολη Διοφαντική

Re: Εύκολη Διοφαντική

Re: Εύκολη Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση