Απο spivak

Kostas Tzimoulias · #21

Πράγματι τα είδα, αλλά δεν είναι αυτό που ζήταγα. Είπα να αφήσω τα σχολικά αφού τέλειωσα πλέον και να κινηθώ σε πιο αυστηρά μαθηματικά γιατί το σχολικό (και καλά κάνει) δουλεύει πολύ με το γνωστό << Είναι προφανές...>>. Ωστόσο τώρα που το βλέπω ήταν εύκολο αυτό που ανέβασα διάβασα λάθος την εκφώνηση νόμιζα ότι ήθελε <<να αποδειξω οτι ο εκθέτης είναι περιττός ή άρτιος>>, αλήθεια αυτό αποδεικνύεται έτσι? φαντάζομαι με παρόμοιο τρόπο...

Kostas Tzimoulias · #22

Καλησπέρα και πάλι.

Για ποίες συναρτήσεις b,c

μπορούμε να βρούμε μια συνάρτηση

τέτοια ώστε $(x(t))^{2}+b(t)x(t)+c(t)=0$ , για κάθε αριθμό

Πότε μπορούμε να συμπεριφερόμαστε σε μια συνάρτηση ώς αριθμό? (προφανώς εδώ πρέπει οι συναρτήσεις b,c να ικανοποιούν την: $(b(t))^{2}-4c(t)\geq0$ )
την είχα αυτή την απορία σε όλο το λύκειο αλλά δε βρέθηκε η ευκαιρία να μάθω την απάντηση

και άλλη μία που με δυσκολεύει:

Ποιες συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι f,g,h,k

έτσι ώστε: f(x)g(y)=h(x)k(y)

(Εδώ σκέφτηκα: αν f(x)=0

ή

και συγχρόνως h(x)=0

ή

η δοσμένη ισχύει
μετά για f,g,h,k\neq0 τα έκανα πηλίκα αλλά με προβληματίζει το γεγονός οτι εκφράζονται με διαφορετικές μεταβλητές για να πάω με ισότητα συναρτήσεων

#23

Κώστα, θα συνιστούσα να μην τοποθετούσες τα ποστ στον φάκελο της ΑΝΑΛΥΣΗΣ στα ΑΕΙ, για δύο λόγους.

1) Οι Ασκήσεις δεν είναι σε θέματα Ανάλυσης. Είναι Άλγεβρα Α' Λυκείου. Το γεγονός ότι περιέχονται σε βιβλίο Ανάλυσης είναι γιατί ο συγγραφέας έχει μαζέψει στα αρχικά κεφάλαια όσα πρέπει να γνωρίζει από το Σχολείο ο αναγνώστης, ΠΡΙΝ ΜΠΕΙ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ.

2) Σίγουρα οι ερωτήσεις είναι πολύ απλές (στάνταρ θέματα, χιλιοειπωμένα στο Σχολείο) που δεν είναι για τον φάκελο ΑΕΙ. Δες π.χ. τι σου έγραψε ο Κώστας (rek2) παραπάνω.

Kostas Tzimoulias έγραψε: Για ποίες συναρτήσεις μπορούμε να βρούμε μια συνάρτηση τέτοια ώστε $(x(t))^{2}+b(t)x(t)+c(t)=0$ , για κάθε αριθμό

Πότε μπορούμε να συμπεριφερόμαστε σε μια συνάρτηση ώς αριθμό? (προφανώς εδώ πρέπει οι συναρτήσεις b,c να ικανοποιούν την: $(b(t))^{2}-4c(t)\geq0$ )

Δεν πρόκειται για συνάρτηση. Το b(t)

είναι αριθμός. Ακριβέστερα, για κάθε σταθερό

, το

είναι η τιμή της συνάρτησης στο

.

Το όλο θέμα σε μπερδεύει γιατί ξεχνάς τους ποσοδείκτες. Η παράλειψη αλλοιώνει την ουσία.

Kostas Tzimoulias έγραψε: Ποιες συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι έτσι ώστε:

Από χιλιόμετρα φαίνεται ότι δεν έγραψες σωστά την εκφώνηση. Πάω στοίχημα ότι η εκφώνηση στο βιβλίο έχει ποσοδείκτη. Δηλαδή λέει "για κάθε x,y

". Χωρίς αυτό η ερώτηση δεν έχει νόημα. Κάνεις το ίδιο σφάλμα με την προηγούμενη ερώτηση.

Kostas Tzimoulias έγραψε:(Εδώ σκέφτηκα: αν ή και συγχρόνως ή η δοσμένη ισχύει
μετά για f,g,h,k\neq0 τα έκανα πηλίκα αλλά με προβληματίζει το γεγονός οτι εκφράζονται με διαφορετικές μεταβλητές για να πάω με ισότητα συναρτήσεων

Καμία σχέση. Ξαναδές το, αλλά αυτή την φορά υπό το πρίσμα της σωστής ανάγνωσης της εκφώνησης.

Kostas Tzimoulias · #24

Mihalis_Lambrou έγραψε:Κώστα, θα συνιστούσα να μην τοποθετούσες τα ποστ στον φάκελο της ΑΝΑΛΥΣΗΣ στα ΑΕΙ, για δύο λόγους.

1) Οι Ασκήσεις δεν είναι σε θέματα Ανάλυσης. Είναι Άλγεβρα Α' Λυκείου. Το γεγονός ότι περιέχονται σε βιβλίο Ανάλυσης είναι γιατί ο συγγραφέας έχει μαζέψει στα αρχικά κεφάλαια όσα πρέπει να γνωρίζει από το Σχολείο ο αναγνώστης, ΠΡΙΝ ΜΠΕΙ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ.

2) Σίγουρα οι ερωτήσεις είναι πολύ απλές (στάνταρ θέματα, χιλιοειπωμένα στο Σχολείο) που δεν είναι για τον φάκελο ΑΕΙ. Δες π.χ. τι σου έγραψε ο Κώστας (rek2) παραπάνω.

Kostas Tzimoulias έγραψε: Για ποίες συναρτήσεις μπορούμε να βρούμε μια συνάρτηση τέτοια ώστε $(x(t))^{2}+b(t)x(t)+c(t)=0$ , για κάθε αριθμό

Πότε μπορούμε να συμπεριφερόμαστε σε μια συνάρτηση ώς αριθμό? (προφανώς εδώ πρέπει οι συναρτήσεις b,c να ικανοποιούν την: $(b(t))^{2}-4c(t)\geq0$ )
Δεν πρόκειται για συνάρτηση. Το είναι αριθμός. Ακριβέστερα, για κάθε σταθερό , το είναι η τιμή της συνάρτησης στο .

Το όλο θέμα σε μπερδεύει γιατί ξεχνάς τους ποσοδείκτες. Η παράλειψη αλλοιώνει την ουσία.

Kostas Tzimoulias έγραψε: Ποιες συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι έτσι ώστε:
Από χιλιόμετρα φαίνεται ότι δεν έγραψες σωστά την εκφώνηση. Πάω στοίχημα ότι η εκφώνηση στο βιβλίο έχει ποσοδείκτη. Δηλαδή λέει "για κάθε ". Χωρίς αυτό η ερώτηση δεν έχει νόημα. Κάνεις το ίδιο σφάλμα με την προηγούμενη ερώτηση.

Kostas Tzimoulias έγραψε:(Εδώ σκέφτηκα: αν ή και συγχρόνως ή η δοσμένη ισχύει
μετά για f,g,h,k\neq0 τα έκανα πηλίκα αλλά με προβληματίζει το γεγονός οτι εκφράζονται με διαφορετικές μεταβλητές για να πάω με ισότητα συναρτήσεων
Καμία σχέση. Ξαναδές το, αλλά αυτή την φορά υπό το πρίσμα της σωστής ανάγνωσης της εκφώνησης.

όντως μπερδεύτηκα...θα ανεβάζω μόνο θέματα ανάλυσης οπότε απο εδώ και πέρα

Kostas Tzimoulias · #25

Καλησπέρα έχω μπει στον ε-δ ορισμο και στις εφαρμογές του μετά από μια εισαγωγή που έκανα στις σειρες και στις ακολουθίες αποφάσισα να τα πάω με τη σειρά απο εδώ και πέρα. Ωστόσο συνάντησα δυσκολία απο την αρχή :/ Θέλω να αποδείξω ότι αν
$\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l$ και $\lim_{x \rightarrow a}g(x)=m$ τότε $\lim_{x \rightarrow a}f(x)g(x)=l \cdot m$

Πριν φτάσω εδώ απέδειξα με τη βοήθεια του βιβλίο ότι $|x-x_0|<min(1,\dfrac{\displaystyle \epsilon}{2(|y_0|+1})$ και | $y-y_0|<\dfrac{\epsilon}{2(|x_0|+1)}$ τότε $|xy-x_0y_0|<\epsilon$ που με χρήση της τριγωνικής ανισότητας προκύπτει έυκολα. Τα σημεία που δυσκολεύομαι είναι 2. Πρώτον δεν καταλαβαίνω τη χρήση του min

( γνωρίζω ότι min(a,b)=a αν a<b

) αλλά δεν κατανοώ τη χρήση του στη συγκεκριμένη περίπτωση δηλαδή γιατί ισχύει και γιατί θεωρεί ο Spivak οτι το παραπάνω λήμμα είναι σημαντικό ; Ευχαριστώ και ελπίζω να μην είναι εκτός φακέλου αυτή τη φορά η απορία. Ουσιαστικά την ίδια απορία έχω και σε ένα παρόμοιο λήμμα που πάλι δεν καταλαβαινω τη χρήση του min

δηλαδή:

Αν $y_0\neq 0$ και $|y-y_0|<min(\dfrac{|y_0|}{2},\dfrac{\epsilon{|y_0|}^2}{2})$ τότε $y \neq 0$ $\displaystyle|\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y_0}|)<\epsilon$

#26

Kostas Tzimoulias έγραψε: $|x-x_0|<min(1,\dfrac{\displaystyle \epsilon}{2(|y_0+1|})$ και | $y-y_0|<\dfrac{\epsilon}{2(|x_0+1|)}$

Δεν έχω τον Spivak μπροστά μου για να ελέγξω αλλά δεν αμφιβάλλω ότι έχεις γράψει λάθος τους παρονομαστές. Το σωστό
είναι 2(|y_0|+1)

και

, αντίστοιχα.

Άσκηση για σένα: Γιατί πρέπει να είναι έτσι όπως τα λέω και όχι όπως το έγραψες;

Kostas Tzimoulias έγραψε:
Αν $y_0\neq 0$ και $|y-y_0|<min(\dfrac{|y_0|}{2},\dfrac{\epsilon{|y_0|}^2}{2})$ τότε για $y \neq 0$ $\displaystyle|\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y_0}|)<\epsilon$

Το "για" που σημείωσα με κόκκινο είναι λάθος. Το $y \neq 0$ είναι συμπέρασμα από τα προηγούμενα και όχι υπόθεση. Επίσης λείπει μία λέξη μεταξύ του $y \neq 0$ και του $\displaystyle|\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y_0}|<\epsilon$ . Δεν αμφιβάλλω ότι ο Spivak τα έχει σωστά αλλά δεν τα αντέγραψες σωστά.

Άσκηση για σένα: Γιατί πρέπει να είναι έτσι όπως τα λέω και όχι όπως το έγραψες; Γιατί είναι σημαντική η μία λεξούλα που λείπει;

Τώρα, το ερώτημά σου είναι γιατί χρησιμοποιούμε "min" στο $|y-y_0|<min \left (\dfrac{|y_0|}{2},\dfrac{\epsilon{|y_0|}^2}{2}\right )$ , η απάντηση είναι ότι έτσι εξασφαλίζουμε ότι ισχύουν ΣΥΓΧΡΟΝΩΣ οι

$|y-y_0|<\dfrac{|y_0|}{2}$ και $|y-y_0|<\dfrac{\epsilon{|y_0|}^2}{2}\right )$ .

Και τα δύο αυτά χρειάζονται στην απόδειξη του αποδεικτέου.

Άσκηση για σένα: Πού ακριβώς στην απόδειξη χρειάζονται αυτά;

Τέλος γράφεις

Kostas Tzimoulias έγραψε: γνωρίζω ότι min(a,b)=a Î±Î½ a>b)

(έβγαλα τα προθέματα [τεχ] και λοιπά για να είναι ορατό τι ακριβώς γράφεις). Η παράσταση αυτή δεν έχει νόημα, άσε που σίγουρα αντί για a>b

εννοείς

.

Ελπίζω να βοήθησα να βγάλεις άκρη. Πρόκειται για Μαθηματικά Α' Λυκείου και δεν πρέπει να σκέπτεσαι "δύσκολα".

Kostas Tzimoulias · #27

Ευχαριστώ που ασχολείστε κύριε Μιχάλη.
Καταρχάς απο βιασύνη έκανα πολλά λάθη που ίσως σας μπέρδεψαν και ζητώ συγγνώμη.

Αρχικά: Στον παρονομαστή πρέπει να έχουμε |y_0|+1

μιας και στην περίπτωση του |y_0+1| θα μπορούσε να μηδενιστεί χωρίς να έχουμε εμεις κάποιο αρχικό περιορισμό.

Όσο για το "για" ειναι προφανώς δικό μου λάθος αφου υπέθεσα οτι δε θα αλλαζε κάτι αν το προσθετα (πολύ κακή πρωτοβουλία). Με το για νομιζω οτι προσθετουμε μια νέα υπόθεση αυθαιρετα ενω εμεις θελουμε να προκυψει ως συμπερασμα

Τέλος, αυτό ήταν που με ταλαιπωρούσε ότι αν x<min(a,b)

τότε

και

που τελικά ήταν απλή λογική.

θα τα δω και τα υπόλοιπα που αφορουν την απόδειξη ευχαριστώ και πάλι

edit: γνωρίζω ότι ολα αυτά πρόκεινται για κάτι απλό. Ωστόσο τα ανεβάζω για να ειμαι σίγουρος ότι δεν έχω παρερμηνέυσει κάτι και για να τα δω σε περισσότερο βάθος μιας και για μένα ειναι ο μόνος τρόπος για να μάθω,δηλαδή να δω απο που ξεκίνησε η σκέψη και η πορεία της απόδειξης.

Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Re: Απο spivak

Μέλη σε σύνδεση