Υπολογισμός αθροίσματος (38) (Διπλό άθροισμα με λογάριθμο)

#1

Να υπολογισθεί, αν συγλίνει, το άθροισμα: $\displaystyle{\sum_{m=1}^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{m+n}\frac{m\ln(m+n)}{(m+n)^3}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Να υπολογισθεί, αν συγλίνει, το άθροισμα: $\displaystyle{\sum_{m=1}^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{m+n}\frac{m\ln(m+n)}{(m+n)^3}}$

Λήμμα : $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\log n}}{{{n^z}}}} = - \log 2 \cdot {2^{1 - z}} \cdot \zeta \left( z \right) - \left( {1 - {2^{1 - z}}} \right)\zeta '\left( z \right)}$ διότι
$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^z}}}} = 1 - \frac{1}{{{2^z}}} + \frac{1}{{{3^z}}} - \frac{1}{{{4^z}}} + .. = \zeta \left( z \right) - 2 \cdot \left( {\frac{1}{{{2^z}}} + \frac{1}{{{4^z}}} + ..} \right) \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^z}}}} = \left( {1 - {2^{1 - z}}} \right)\zeta \left( z \right)}$

Οπότε με παραγώγιση (για $\displaystyle{z \ne 1}$ υπάρχει ομοιόμορφη σύγκλιση) έχουμε: $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\log n}}{{{n^z}}}} = - \log 2 \cdot {2^{1 - z}} \cdot \zeta \left( z \right) - \left( {1 - {2^{1 - z}}} \right)\zeta '\left( z \right)}$

Τότε $\displaystyle{S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m + n}} \cdot m \cdot \log \left( {m + n} \right)}}{{{{\left( {m + n} \right)}^3}}}} } \mathop { = = = = = = }\limits^{m \leftrightarrow n} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m + n}} \cdot n \cdot \log \left( {m + n} \right)}}{{{{\left( {m + n} \right)}^3}}}} } \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow 2 \cdot S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m + n}}\left( {m + n} \right) \cdot \log \left( {m + n} \right)}}{{{{\left( {m + n} \right)}^3}}}} } \Rightarrow S = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m + n}} \cdot \log \left( {m + n} \right)}}{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}}} } }$

Για κάθε $\displaystyle{k \ge 2}$ το άθροισμα $\displaystyle{m + n}$ λαμβάνει την τιμή $\displaystyle{k}$ με $\displaystyle{k-1}$ διαφορετικούς τρόπους, όπως $\displaystyle{1 + \left( {k - 1} \right),2 + \left( {k - 2} \right),..,\left( {k - 1} \right) + 1}$

Οπότε $\displaystyle{S = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m + n}} \cdot \log \left( {m + n} \right)}}{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}}} } = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 2}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k} \cdot \left( {k - 1} \right) \cdot \log \left( k \right)}}{{{k^2}}}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k} \cdot \log \left( k \right)}}{k}} }_{{S_1}} + \frac{1}{2}\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}} \cdot \log \left( k \right)}}{{{k^2}}}} }_{{S_2}} = \frac{1}{2} \cdot {S_1} + \frac{1}{2} \cdot {S_2}}$

Όμως $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\log x \cdot {e^{ - x \cdot s}}} = - \frac{{\log s + \gamma }}{s}}$ (μετασχηματισμός Laplace) και από εδώ viewtopic.php?f=9&t=12954&hilit=memorial έχουμε βρεί ότι $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\frac{{\log x}}{{1 + {e^x}}}dx} = - \frac{1}{2} \cdot {\log ^2}2}$ .

Οπότε $\displaystyle{{S_1} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot \log \left( n \right)}}{n}} = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {\int\limits_0^\infty {\log x \cdot {e^{ - x \cdot n}} + \frac{\gamma }{n}} } \right)} = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot \gamma }}{n}} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\int\limits_0^\infty {\log x \cdot {e^{ - x \cdot n}}dx} } = }$

$\displaystyle{ = \gamma \cdot \log 2 + \int\limits_0^\infty {\log x \cdot {e^{ - x}} \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}} \cdot {e^{ - x \cdot \left( {n - 1} \right)}}} } = \gamma \cdot \log 2 + \int\limits_0^\infty {\frac{{\log x}}{{1 + {e^x}}}dx} = \gamma \cdot \log 2 - \frac{1}{2} \cdot {\log ^2}2}$

και $\displaystyle{{S_2} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}} \cdot \log \left( k \right)}}{{{k^2}}}} = - \log 2 \cdot {2^{1 - 2}} \cdot \zeta \left( 2 \right) - \left( {1 - {2^{1 - 2}}} \right)\zeta '\left( 2 \right) = - \frac{1}{2} \cdot \log 2 \cdot \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{1}{2} \cdot \zeta '\left( 2 \right)}$

Τελικά $\displaystyle{S = \frac{1}{2}\left( {\gamma \cdot \log 2 - \frac{1}{2} \cdot {{\log }^2}2 - \log 2 \cdot \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \zeta '\left( 2 \right)} \right)}$

______________________________________________________________________________________________________________________________

Παρεμπιπτόντως http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html $\displaystyle{\zeta '\left( 2 \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\left( {\gamma + \log \left( {2\pi } \right) - 12 \cdot \log A} \right)}$ , όπου $\displaystyle{A}$ η σταθερά των Glaisher - Kinkelin http://mathworld.wolfram.com/Glaisher-K ... stant.html με $\displaystyle{A \approx 1,28242712...}$

Συμμαζεύοντας τα παραπάνω έχουμε $\displaystyle{S = \frac{1}{2} \cdot \gamma \cdot \log 2 - \frac{1}{4} \cdot {\log ^2}2 - \log 2 \cdot \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} \cdot \gamma - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} \cdot \log \pi + {\pi ^2} \cdot \log A}$

#3

Σεραφείμ έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Να υπολογισθεί, αν συγλίνει, το άθροισμα: $\displaystyle{\sum_{m=1}^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{m+n}\frac{m\ln(m+n)}{(m+n)^3}}$
Λήμμα : $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\log n}}{{{n^z}}}} = - \log 2 \cdot {2^{1 - z}} \cdot \zeta \left( z \right) - \left( {1 - {2^{1 - z}}} \right)\zeta '\left( z \right)}$ διότι
$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^z}}}} = 1 - \frac{1}{{{2^z}}} + \frac{1}{{{3^z}}} - \frac{1}{{{4^z}}} + .. = \zeta \left( z \right) - 2 \cdot \left( {\frac{1}{{{2^z}}} + \frac{1}{{{4^z}}} + ..} \right) \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^z}}}} = \left( {1 - {2^{1 - z}}} \right)\zeta \left( z \right)}$

Οπότε με παραγώγιση (για $\displaystyle{z \ne 1}$ υπάρχει ομοιόμορφη σύγκλιση) έχουμε: $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\log n}}{{{n^z}}}} = - \log 2 \cdot {2^{1 - z}} \cdot \zeta \left( z \right) - \left( {1 - {2^{1 - z}}} \right)\zeta '\left( z \right)}$

Τότε $\displaystyle{S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m + n}} \cdot m \cdot \log \left( {m + n} \right)}}{{{{\left( {m + n} \right)}^3}}}} } \mathop { = = = = = = }\limits^{m \leftrightarrow n} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m + n}} \cdot n \cdot \log \left( {m + n} \right)}}{{{{\left( {m + n} \right)}^3}}}} } \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow 2 \cdot S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m + n}}\left( {m + n} \right) \cdot \log \left( {m + n} \right)}}{{{{\left( {m + n} \right)}^3}}}} } \Rightarrow S = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m + n}} \cdot \log \left( {m + n} \right)}}{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}}} } }$

Για κάθε $\displaystyle{k \ge 2}$ το άθροισμα $\displaystyle{m + n}$ λαμβάνει την τιμή $\displaystyle{k}$ με $\displaystyle{k-1}$ διαφορετικούς τρόπους, όπως $\displaystyle{1 + \left( {k - 1} \right),2 + \left( {k - 2} \right),..,\left( {k - 1} \right) + 1}$

Οπότε $\displaystyle{S = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{m + n}} \cdot \log \left( {m + n} \right)}}{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}}} } = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 2}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k} \cdot \left( {k - 1} \right) \cdot \log \left( k \right)}}{{{k^2}}}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k} \cdot \log \left( k \right)}}{k}} }_{{S_1}} + \frac{1}{2}\underbrace {\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}} \cdot \log \left( k \right)}}{{{k^2}}}} }_{{S_2}} = \frac{1}{2} \cdot {S_1} + \frac{1}{2} \cdot {S_2}}$

Όμως $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\log x \cdot {e^{ - x \cdot s}}} = - \frac{{\log s + \gamma }}{s}}$ (μετασχηματισμός Laplace) και από εδώ viewtopic.php?f=9&t=12954&hilit=memorial έχουμε βρεί ότι $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {\frac{{\log x}}{{1 + {e^x}}}dx} = - \frac{1}{2} \cdot {\log ^2}2}$ .

Οπότε $\displaystyle{{S_1} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot \log \left( n \right)}}{n}} = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {\int\limits_0^\infty {\log x \cdot {e^{ - x \cdot n}} + \frac{\gamma }{n}} } \right)} = - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot \gamma }}{n}} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\int\limits_0^\infty {\log x \cdot {e^{ - x \cdot n}}dx} } = }$

$\displaystyle{ = \gamma \cdot \log 2 + \int\limits_0^\infty {\log x \cdot {e^{ - x}} \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}} \cdot {e^{ - x \cdot \left( {n - 1} \right)}}} } = \gamma \cdot \log 2 + \int\limits_0^\infty {\frac{{\log x}}{{1 + {e^x}}}dx} = \gamma \cdot \log 2 - \frac{1}{2} \cdot {\log ^2}2}$

και $\displaystyle{{S_2} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}} \cdot \log \left( k \right)}}{{{k^2}}}} = - \log 2 \cdot {2^{1 - 2}} \cdot \zeta \left( 2 \right) - \left( {1 - {2^{1 - 2}}} \right)\zeta '\left( 2 \right) = - \frac{1}{2} \cdot \log 2 \cdot \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{1}{2} \cdot \zeta '\left( 2 \right)}$

Τελικά $\displaystyle{S = \frac{1}{2}\left( {\gamma \cdot \log 2 - \frac{1}{2} \cdot {{\log }^2}2 - \log 2 \cdot \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \zeta '\left( 2 \right)} \right)}$

______________________________________________________________________________________________________________________________

Παρεμπιπτόντως http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html $\displaystyle{\zeta '\left( 2 \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\left( {\gamma + \log \left( {2\pi } \right) - 12 \cdot \log A} \right)}$ , όπου $\displaystyle{A}$ η σταθερά των Glaisher - Kinkelin http://mathworld.wolfram.com/Glaisher-K ... stant.html με $\displaystyle{A \approx 1,28242712...}$

Συμμαζεύοντας τα παραπάνω έχουμε $\displaystyle{S = \frac{1}{2} \cdot \gamma \cdot \log 2 - \frac{1}{4} \cdot {\log ^2}2 - \log 2 \cdot \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} \cdot \gamma - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} \cdot \log \pi + {\pi ^2} \cdot \log A}$

Καλημέρα Σεραφείμ. Ωραία. Όταν το κοίταζα αυτό είχα σκαλώσει στο σημείο που βάζεις

αντί για

(ουσιαστικά γίνεται αλλαγή σειράς άθροισης) και στο σημείο που αθροίζεις κατά τρίγωνα γιατί νομίζω δε συγκλίνει απόλυτα το άθροισμα και δεν μπορούσα να το δικαιολογίσω. Έτσι το έκανα λίγο διαφορετικά. Εδώ. Εϊναι το 118 του Mathproblems.

#4

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:...γιατί νομίζω δε συγκλίνει απόλυτα το άθροισμα

χμμμχχμ μπα, συγκλίνει μάλλον.

Υπολογισμός αθροίσματος (38) (Διπλό άθροισμα με λογάριθμο)

Υπολογισμός αθροίσματος (38) (Διπλό άθροισμα με λογάριθμο)

Re: Υπολογισμός αθροίσματος (38) (Διπλό άθροισμα με λογάριθμ

Re: Υπολογισμός αθροίσματος (38) (Διπλό άθροισμα με λογάριθμ

Re: Υπολογισμός αθροίσματος (38) (Διπλό άθροισμα με λογάριθμ

Μέλη σε σύνδεση