Ανισότητα

Rafaelcrete · #1

Μια ανισότητα δικής μου κατασκευής σχετικά εύκολη.Έστω x,y,z

θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε x+y+z=1

:
Δείξε ότι $\sum_{cyclic} \frac{x^{3}}{(x+y)^{2}}\geq \frac{1}{4}$

#2

Γνωρίζουμε ότι: $\displaystyle{\frac{x_1 ^m}{a_1 ^{m-1}}+\frac{x_2 ^m}{a_2 ^{m-1}}+...+\frac{x_n ^m}{a_n ^{m-1}}\geq \frac{(x_1 +x_2 + ... +x_n)^m}{(a_1 +a_2 + ... +a_n )^{m-1}}}$ ,
όπου

είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος με τον

.

Για το πρόβλημά μας έχουμε $\displaystyle{\Sigma \frac{x^3 }{(x+y)^2} \geq \frac{(x+y+z)^3}{(x+y+y+z+z+x)^2}=\frac{1}{2x+2y+2z)^2} =\frac{1}{4(x+y+z)^2}=\frac{1}{4}}$

Rafaelcrete · #3

Θα παραθέσω και εγώ την λύση που είχα υπόψιν μου.Εφαρμόζεις τις ακόλουθες ανισότητες κυκλικά και έχεις το αποτέλεσμα που ζητείτε:
$x^{2}+xy+y^{2}\geq \frac{3}{4}(x+y)^{2}$
$\frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq\frac{2x-y}{3}$

Ορέστης Λιγνός · #4

Rafaelcrete έγραψε:Μια ανισότητα δικής μου κατασκευής σχετικά εύκολη.Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε :
Δείξε ότι $\sum_{cyclic} \frac{x^{3}}{(x+y)^{2}}\geq \frac{1}{4}$

Καλησπέρα!

Ωραία άσκηση!!
Μία άλλη προσέγγιση

Από C-S είναι $2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2$ και άρα

$\displaystyle{ \sum{\left(\frac{x^3}{(x+y)^2}\right)} \geq \sum{\left(\frac{x^3}{2(x^2+y^2)}\right)}=\frac{1}{2} \cdot \sum{\left(x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right)} \geq \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cdot \sum{\frac{xy^2}{2xy}}=\frac{1}{2}-\sum{\frac{y}{4}}=\frac{1}{4}}$

(έγινε χρήση της AM-GM) με ισότητα για $\displaystyle x=y=z=\frac{1}{3}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση