Απαιτητικό όριο

Rempeskes · #1

Να υπολογίσετε το όριο :

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x-2ln(x+1)-xln(x+1)}{xln^2(x+1)}$

το οποίο παρουσιάζει μια τεχνική που δεν είχα ξανασυναντήσει!

Πηγή:κ. Μπάμπης Στεργίου

#2

Rempeskes έγραψε:Να υπολογίσετε το όριο :

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x-2ln(x+1)-xln(x+1)}{xln^2(x+1)}$

το οποίο παρουσιάζει μια τεχνική που δεν είχα ξανασυναντήσει!

Πηγή:κ. Μπάμπης Στεργίου

Είναι κοντά στο $\displaystyle{0}$

$\displaystyle{\frac{2x-2ln(x+1)-xln(x+1)}{xln^2(x+1)}=\frac{2x-2\ln (x+1)-x\ln (x+1)}{x^3}\left(\frac{x}{\ln (x+1)}\right)^2}$ .

Το όριο της παρένθεσης είναι από L' Hospital αμέσως ίσο με $\displaystyle{1.}$

Πάλι από L' Hospital είναι

$\displaystyle{\lim _{x\to 0}\frac{2x-2\ln (x+1)-x\ln (x+1)}{x^3}=\lim _{x\to 0}\frac{2-\frac{2}{x+1}-\ln (x+1)-\frac{x}{x+1}}{3x^2}=\lim _{x\to 0}\frac{\frac{x}{x+1}-\ln (x+1)}{3x^2}=}$

$\displaystyle{\lim _{x\to 0}\frac{\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}}{6x}=\lim _{x\to 0}\frac{-1}{6(x+1)^2}=-\frac{1}{6}.}$

Άρα το ζητούμενο όριο ισούται με $\displaystyle{\boxed{-\frac{1}{6}}.}$

vassilisg98 · #3

Χρησιμοποιώντας την αλλαγή μεταβλητής u=ln(x+1)

και έπειτα διαιρώντας με το x^3

καταφέρνουμε να δημιουργήσουμε το ορισμό της παραγώγου της e^x

στον παρονομαστή και στον αριθμητή με τον κανόνα του L'Hospital βρίσκουμε τα επιμέρους όρια .. Και τελικά το όριο είναι $-\frac{1}{6}$ .

Απαιτητικό όριο

Απαιτητικό όριο

Re: Απαιτητικό όριο

Re: Απαιτητικό όριο

Μέλη σε σύνδεση