Σύστημα με ριζικά

Γιώργος Απόκης · #1

Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+y^2=133 \\ x+\sqrt{yx}+y=19 \end{array} \right.$

(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 9/7/2016)

Ορέστης Λιγνός · #2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+y^2=133 \\ x+\sqrt{yx}+y=19 \end{array} \right.$

(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 9/7/2016)

Καλησπέρα!

Προφανώς, xy >0

Θέτουμε $x+y=a,\sqrt{xy}=b \Leftrightarrow xy=b^2$ και το σύστημα γίνεται a^2-b^2=133,a+b=19

που δίνει λύση (a,b)=(13,6)

.

Άρα,

και εύκολα πλέον έχουμε τις λύσεις (x,y)=(9,4),(4,9)

.

Γιώργος Απόκης · #3

jimperix · #4

Χωρίς να θέσουμε:
$xy\geq 0$

$\begin{Bmatrix} \left(x+y \right)^{2}-xy=133 & \\ x+y=19-\sqrt{xy} & \end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix} 361-38\sqrt{xy}+xy-xy=133 & \\ x+y=19-\sqrt{xy} & \end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix} \sqrt{xy}=6 & \\ x+y=13 & \end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix} 13y-y^{2}=36 & \\ x=13-y & \end{Bmatrix}$

Λύνοντας την πρώτη έχουμε
y=9 ή y=4

άρα $\left(x,y \right)=\left(9,4 \right),\left(4,9 \right)$

Γιώργος Απόκης · #5

jimperix έγραψε:Χωρίς να θέσουμε:
xy>0

$\begin{Bmatrix} \left(x+y \right)^{2}-xy=133 & \\ x+y=19-\sqrt{xy} & \end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix} 361-38\sqrt{xy}+xy-xy=133 & \\ x+y=19-\sqrt{xy} & \end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix} \sqrt{xy}=6 & \\ x+y=13 & \end{Bmatrix}$

$\begin{Bmatrix} 13y-y^{2}=36 & \\ x=13-y & \end{Bmatrix}$

Λύνοντας την πρώτη έχουμε
y=9 ή y=4

άρα $\left(x,y \right)=\left(9,4 \right),\left(4,9 \right)$

Σωστή είναι η λύση, όμως ο Ορέστης δεν θεώρησε αυθαίρετα ότι $\displaystyle{xy>0}$ , είναι κάτι που επιβάλλεται

#6

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} x^2+xy+y^2=133 \\ x+\sqrt{yx}+y=19 \end{array} \right.$

Μετά τις λύσεις των μαθητών μας ας δούμε, χάριν ποικιλίας, άλλη μία: Είναι με βάση την ταυτότητα
$\displaystyle{ x^2+xy+y^2 = (x+\sqrt{yx}+y)(x-\sqrt{yx}+y)}$

Από τα δεδομένα και την ταυτότητα έπεται

$\displaystyle{133 = 19 (x-\sqrt{yx}+y)}$ , οπότε $\displaystyle{x-\sqrt{yx}+y = 7}$ . Τώρα το σύστημα γίνεται

$\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{yx}+y=19 \\ x-\sqrt{yx}+y=7 \end{array} \right.$

Με πρόσθεση των εξισώσεων βρίσκουμε $\displaystyle{x+y= 13}$ , και με αφαίρεση $\displaystyle{\sqrt {xy} = 6}$ ή αλλιώς xy=36

. Τώρα είναι απλό. Αφήνω τα υπόλοιπα.

Κάτι ακόμα προς jimperix: Είδες το τρίτο μήνυμα που σου έγραψα εδώ; Φαίνεται να το αγνόησες.

Σύστημα με ριζικά

Σύστημα με ριζικά

Re: Σύστημα με ριζικά

Re: Σύστημα με ριζικά

Re: Σύστημα με ριζικά

Re: Σύστημα με ριζικά

Re: Σύστημα με ριζικά

Μέλη σε σύνδεση