Ερωτηση Sup-Inf

giannakos94 · #1

Έχουμε το

και το $B= \left\{1/(1+x^2) : x\in A \right\}$

Νδο οτι $\mathrm{sup}(B)=\frac{1}{\mathrm{inf}(A)^2 +1}$

έχω φτάσει μέχρι το σημείο που δείχνω οτι το $\frac{1}{\mathrm{inf}(A)^2 +1}$ είναι άνω φράγμα του

. Μετά λέω έστω

άνω φράγμα τ

και προσπαθώ να βγάλω οτι το $\mathrm{inf}(A)^2 +1 \leqslant M$ αλλά δεν μου βγαίνει με τίποτα

#2

Αγαπητέ giannakos94, καλωσόρισες στο

Σε παρακαλώ διάβασε τον κανονισμό μας που βρίσκεται εδώ διότι τον έχεις παραβιάσει κατάφωρα.

- Πρέπει απαραίτητα τα μαθηματικά να τα γράφουμε σε LaTeX. Το διόρθωσα στην ανάρτησή σου.
- Πρέπει να γράφουμε σωστά ελληνικά. Σε παρακαλώ διόρθωσε τα στην αρχική σου ανάρτηση.

giannakos94 · #3

Demetres έγραψε:Αγαπητέ giannakos94, καλωσόρισες στο

Σε παρακαλώ διάβασε τον κανονισμό μας που βρίσκεται εδώ διότι τον έχεις παραβιάσει κατάφωρα.

- Πρέπει απαραίτητα τα μαθηματικά να τα γράφουμε σε LaTeX. Το διόρθωσα στην ανάρτησή σου.
- Πρέπει να γράφουμε σωστά ελληνικά. Σε παρακαλώ διόρθωσε τα στην αρχική σου ανάρτηση.

Συγνωμη δεν ηξερα για την Latex... Βασικα δεν εχω και ιδεα πως γραφουμε αλλα θα προσπαθησω να μαθω....

#4

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Επειδή ίσως δεν έγινε κατανοητό το μήνυμα του Δημήτρη

Demetres έγραψε: - Πρέπει να γράφουμε σωστά ελληνικά. Σε παρακαλώ διόρθωσε τα στην αρχική σου ανάρτηση.

ας προσθέσω ότι τα σωστά ελληνικά απαιτούν τόνους στις λέξεις.

Επίσης συντομογραφίες όπως

giannakos94 έγραψε: δν μ βγαινει

είναι ασύμβατες με τα στάνταρ του φόρουμ.

giannakos94 έγραψε:Μετα λεω εστω M ανω φραγμα τ και προσπαθω να βγαλω οτι το $\mathrm{inf}(A)^2 +1 \leqslant M$

Λάθος δρόμος. Κάτι σε μπερδεύει χωρίς λόγο. Η άσκηση είναι πολλή απλή και σε παροτρύνω να κάνεις άλλη μία προσπάθεια.

giannakos94 · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Λάθος δρόμος. Κάτι σε μπερδεύει χωρίς λόγο. Η άσκηση είναι πολλή απλή και σε παροτρύνω να κάνεις άλλη μία προσπάθεια.

Δεν ξερω γιατί εχω κολλήσει με την συγκεκριμένη..εχω λυσει αρκετά δυσκολότερα αλλα σε αυτή εχω πάθει εγκεφαλικη βλάβη απο οτι φαίνεται...προσπαθησα και με τον ε ορισμό του supremum που και λογικα ετσι βγαινει αλλά κάπου κολλησα

#6

$\,$
Πάλι καλά που, τουλάχιστον, έβαλες τόνους στις μισές λέξεις. Ελπίζω την επόμενη φορά να βάλεις σε όλες.

Επίσης δεν φαίνεται να κατανόησες πλήρως το μήνυμα του Δημήτρη. Κάνω άλλη μία προσπάθεια:

Demetres έγραψε: - Πρέπει να γράφουμε σωστά ελληνικά. Σε παρακαλώ διόρθωσε τα στην αρχική σου ανάρτηση.

giannakos94 έγραψε:... προσπαθησα και με τον ε ορισμό του supremum που και λογικα ετσι βγαινει αλλά κάπου κολλησα

Κάνεις τα εύκολα δύσκολα. Οι ανισώσεις και οι τεχνικές που χρειάζεσαι για την άσκηση είναι ΜΟΝΟ αυτά που μπορεί και που ξέρει ένας μαθητής Α΄ Λυκείου (συν τον ορισμό του supremum ως ελάχιστο άνω φράγμα, και ανάλογα για το infimum).

giannakos94 · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: $\,$

Οι ανισώσεις και οι τεχνικές που χρειάζεσαι για την άσκηση είναι ΜΟΝΟ αυτά που μπορεί και που ξέρει ένας μαθητής Α΄ Λυκείου (συν τον ορισμό του supremum ως ελάχιστο άνω φράγμα, και ανάλογα για το infimum).

Δεν ξέρω ρε φίλε κάπου έχω κολλήσει .. δεν θα την ανέβαζα άν δεν είχα προσπαθήσει να τη λύσω.. και όπως σου είπα έχω λύσει δυσκολότερες άλλα λογικά κάτι έχω καταλάβει λάθος στο συγκεκριμένο

#8

giannakos94 έγραψε:Έχουμε το και το $B= \left\{1/(1+x^2) : x\in A \right\}$

Νδο οτι $\mathrm{sup}(B)=\frac{1}{\mathrm{inf}(A)^2 +1}$

Θα γράφω

για τυπογραφική ευκολία. Είναι $\inf A = a$ (άμεσο) και θέλουμε να δείξουμε $\displaystyle{\sup (B) = \frac {1}{1+a^2}}$ .

Για κάθε $x\in A$ ισχύει $\displaystyle{a\le x}$ άρα $\displaystyle{\frac {1}{1+x^2}\le \frac {1}{1+a^2}}$ (άμεσο) , δηλαδή το $\displaystyle{ \frac {1}{1+a^2}}$ είναι άνω φράγμα του

(που όπως λες το έδειξες ήδη, αλλά το βάζω λόγω πληρότητας). Μένει να δείξουμε ότι είναι το μικρότερο που σημαίνει ότι αν

άνω φράγμα του

, τότε $\displaystyle{ \frac {1}{1+a^2}\le M}$ .

Εξ ορισμού ότι για κάθε $x \in (a,b)$ ισχύει $\displaystyle{ \frac {1}{1+x^2} \le M}$ , ισοδύναμα $\displaystyle{ \frac {1}{M} \le 1+x^2}$ και άρα $\displaystyle{ \sqrt {\frac {1}{M}-1} \le x }$ . Δηλαδή το $\displaystyle{ \sqrt {\frac {1}{M}-1} }$ είναι κάτω φράγμα του

. Εξ ορισμού του infimum του

έπεται $\displaystyle{ \sqrt {\frac {1}{M}-1} \le a }$ , ισοδύναμα $\displaystyle{ \frac {1}{1+a^2} \le M}$ , που είναι το αποδεικτέο.

Νομίζω ότι είναι πολλή εύκολη άσκηση για φοιτητή. Την έγραψα για να είναι κατανοητή σε μαθητή Α' Λυκείου. Θα μπορούσα να την διατύπωνα/έλυνα με τα μισά λόγια (για επίπεδο φοιτητού) λέγοντας ότι η $\displaystyle{ \frac {1}{1+x^2} }$ είναι γνήσια φθίνουσα και ως συνεχής είναι $\displaystyle{\frac {1}{1+a^2}= \lim _{x\to a+} \frac {1}{1+x^2}}$ . Με τα δύο αυτά η λύση είναι άμεση. Αφήνω τις λεπτομέρειες.

Ερωτηση Sup-Inf

Ερωτηση Sup-Inf

Re: Ερωτηση Sup-Inf

Re: Ερωτηση Sup-Inf

Re: Ερωτηση Sup-Inf

Re: Ερωτηση Sup-Inf

Re: Ερωτηση Sup-Inf

Re: Ερωτηση Sup-Inf

Re: Ερωτηση Sup-Inf

Μέλη σε σύνδεση