IMO 2016

[Σταύρος Σταυρόπουλος]

ΘΕΡΜΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ!!!!

[cretanman]

Μπράβο κι από μένα ΣΕ ΟΛΟΥΣ τους μαθητές για τα μετάλλια/εύφημη μνεία/συμμετοχή τους! Απ' ότι φάνηκε τα εύκολα θέματα 1 και 4 έκαναν τη βάση για το χάλκινο να ανέβει λίγο πιο πάνω από 2 θέματα κι έτσι μαθητές μας που θα μπορούσαν να τα πάνε ακόμη καλύτερα και σε ποιο δύσκολα προβλήματα 1 και 4 έφτασαν πολύ κοντά στο μετάλλιο!

Παιδιά να είστε καλά!! Σας αξίζουν συγχαρητήρια...

Αλέξανδρος

[george visvikis]

Συγχαρητήρια και από μένα σε όλους τους μαθητές μας!

[simantiris j.]

Μπράβο στα παιδιά και ειδικά στο Γιώργο και στο Ραφαήλ για τα μετάλλιά τους!Η αλήθεια είναι ότι τα φετινά θέματα δε μας ευνόησαν,με μόνο μια αρκετά εύκολη γεωμετρία,δυο συνδυαστικές και ένα κάπως περίεργο (αλλά ωραίο) πρόβλημα 3.
Τους εύχομαι τα καλύτερα!

[emouroukos]

Πολλά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά για την προσπάθεια και την επίδοσή τους!

Η συμμετοχή τους σε έναν τόσο απαιτητικό διαγωνισμό όπως η ΙΜΟ είναι μια εμπειρία ζωής που θα τους συνοδεύει στην παραπέρα πορεία τους, είτε αυτή σχετίζεται με τα Μαθηματικά, είτε όχι.

[Demetres]

Συγχαρητήρια και από εμένα.

Στην Κύπρο είχαμε ένα αργυρό με τον Στέλιο Στυλιανού (ο οποίος έλυσε το πρόβλημα 6!) και τρεις επαίνους με τους Μάριο Βοσκού, Άγγελο Πελεκάνο και Ανδρέα Οικονόμου.

Ο Μάριος έχασε το χάλκινο για μία μονάδα.

[GVlachos]

Παιδιά πολλά συγχαρητήρια!

Η φετινή ολυμπιάδα, με τα θέματα 2/5/6 στη συνδυαστική (για μένα και το 5 είναι συνδυαστική), ήταν αρκετά δύσκολη για έλληνες μαθητές. Παρά τη δυσκολία αυτή τα πήγατε και οι 6 πολύ καλά, μαζεύοντας αρκετά partial points και στα πιο δύσκολα προβλήματα 2/5.
Αξίζει να σημειωθεί ότι τα περισσότερα παιδιά θα έχουν ξανά ευκαιρίες στην ΙΜΟ, και πιστεύω πως τα επόμενα χρόνια θα δούμε πολύ δυνατές εμφανίσεις.


Συγχαρητήρια και στα παιδιά της Κύπρου! Με εξέπληξε ευχάριστα φέτος το ότι όλοι έκαναν nontrivial πρόοδο σε κάποιο πρόβλημα.
Ιδιαίτερα συγχαρητήρια στο Στέλιο για τη λύση του στο P6.
Δεν γνωρίζω τι προετοιμασία κάνετε στην Κύπρο, αλλά φαίνεται πως κάθε χρόνο πάτε και καλύτερα.

[Soteris]

Θέλω και εγώ με τη σειρά μου να δώσω πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους διαγωνιζόμενους, Κύπρου και Ελλάδας, για την όμορφη εμφάνιση που είχαν στη φετινή ΙΜΟ. Συγχαρητήρια επίσης και στους αρχηγούς/υπαρχηγούς των αποστολών, αλλά ιδιαίτερα και στους ανθρώπους που φρόντισαν να προετοιμάσουν κατάλληλα τα παιδιά για τον διαγωνισμό αυτό.

Θέλω να σταθώ λίγο σε ένα μαθητή, τον Στέλιο Στυλιανού, ο οποίος χάρισε το τέταρτο αργυρό στο νησί μας στα 32 χρόνια συμμετοχής μας στην ΙΜΟ. Ο Στέλιος "έχανε" το μετάλιο στις τελευταίες δύο ΒΜΟ για μία μονάδα, κάτι που τον έκανε να στεναχωρεθεί. Όμως "έσφιξε τα δόντια", πείσμωσε και σήμερα θα έχει τη χαρά να κρεμάσει στο στήθος ένα αργυρό μετάλιο. Γιατί τα λέω αυτά; Για τους μαθητές, που θα μπουν στον κόπο να διαβάσουν αυτά τα λίγα που γράφω. Μην απογοητεύεστε, ακόμα και αν νιώθετε ότι θα μπορούσατε να τα πάτε πολύ καλύτερα. Θα έρθει η στιγμή, η "στιγμή σας", που θα αποδείξετε αυτό που πραγματικά αξίζετε!

Για άλλη μία φορά μπράβο σε όλους σας, που "βάζετε" τις χώρες μας στον παγκόσμιο χάρτη. Σας ευχαριστούμε και είμαστε περήφανοι για σας!!!

[Demetres]

(για μένα και το 5 είναι συνδυαστική)

Γιώργο, όταν βρεις χρόνο βάλε την απόδειξή σου. Θα ήθελα να την δω διότι την δική μου δεν θα την έλεγα τόσο συνδυαστική. Περισσότερο άλγεβρα/ανάλυση θα την έλεγα

Δεν γνωρίζω τι προετοιμασία κάνετε στην Κύπρο, αλλά φαίνεται πως κάθε χρόνο πάτε και καλύτερα.

Πάνω κάτω αυτό που κάνουμε κάθε χρόνο.

- Από τα τέλη του Γενάρη και μετά γίνονται μαθήματα τα πρωινά του Σαββάτου. Κάθε βδομάδα και σε άλλη πόλη εναλλάξ. Αυτό κρατάει περίπου μέχρι τον Μάιο.
- Τέλος Ιουνίου και αρχές Ιουλίου για 7-10 μέρες μαζεύονται γύρω στα 10 άτομα σε ξενοδοχείο για πιο εντατικά μαθήματα. (Γύρω στις 7 ώρες την ημέρα.)
- Από 'κει και πέρα, ότι διαβάσουν τα παιδιά από μόνα τους.

Το δεύτερο συνεχόμενο αργυρό είναι εκπληκτική επίδοση για μας ιδίως αν αναλογιστούμε πως μέχρι πρόπερσι είχαμε μόνο άλλα δύο.

[achilleas]

Συγχαρητήρια και από εμένα.

Στην Κύπρο είχαμε ένα αργυρό με τον Στέλιο Στυλιανού (ο οποίος έλυσε το πρόβλημα 6!) και τρεις επαίνους με τους Μάριο Βοσκού, Άγγελο Πελεκάνο και Ανδρέα Οικονόμου.

Ο Μάριος έχασε το χάλκινο για μία μονάδα.

Θερμά συγχαρητήρια!

Θα ήθελα πολύ να δω τη λύση που επινόησε ο Στέλιος την ώρα του διαγωνισμού.

Πολλές φορές τα παιδιά αυτά δίνουν ιδιαίτερα ευφυείς λύσεις.

Δεν είμαι σίγουρος, όμως, αν όλες αυτές δημοσιεύονται κάπου.

Ίσως θα έπρεπε η κάθε διοργανώτρια χώρα να τις συγκεντρώνει σε κάποια έκδοση, μετά το διαγωνισμό (?)

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Κώστας Παππέλης]

Θερμά συγχαρητήρια στα παιδιά!!! Τα θέματα πράγματι δεν ήταν ευνοϊκά και ίσως συνολικά δεν πήραν αυτό που άξιζαν, ωστόσο έτσι είναι σε τέτοιους διαγωνισμούς, παίζει ρόλο και η τύχη. Είναι πάντα απρόβλεπτοι και αυτό είναι η ομορφιά και η δυσκολία τους ταυτόχρονα.

Με την ευκαιρία να καταγγείλω δημόσια και επωνύμως τους μαθηματικούς:

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟ ΜΙΧΑΗΛΙΔΗ

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟ ΠΕΤΑΛΩΤΗ

οι οποίοι σε δημόσια ομάδα στο facebook έγραψαν πως τα αποτελέσματα είναι απογοητευτικά, δεν είναι αντάξια του τι περιμένουμε από την παράδοσή μας ως χώρα και έριξαν βολές κατά της Μαθηματικής Εταιρείας ότι δεν τους προετοιμάζει σωστά.

Και πάλι συγχαρητήρια στα παιδιά!!!

[Μπάμπης Στεργίου]

Συγχαρητήρια στις ομάδες Ελλάδας και Κύπρου , μαθητές, συνοδούς , καθηγητές και διοργανωτές για την ωραία εμφάνιση !!!

Εϋχομαι σε όλα τα παιδιά να μην κρύβουν την περηφάνεια τους για τη συμμετοχή τους στην πιο δύσκολη πνευματική και επιστημονική νεανική

συνάντηση του κόσμου ! Να χαρούν και να πανηγυρίσουν αυτή τη μοναδική εμπειρία !

Για την ώρα ας χαρούμε όλοι αυτά που αποκομίσαμε .Για τα άλλα,το πώς δηλαδή θα πάμε ακόμα πιο ψηλά, έχουμε καιρό !

Καλό καλοκαίρι και καλές διακοπές !

[Demetres]

Κώστα, στην Κύπρο έχουμε μια παροιμία που λέει «Απόν αππέξω του χορού πολλά τραούδκια ξέρει».

Αυτοί οι διαγωνισμοί είναι πολύ δύσκολοι και αξίζουν συγχαρητήρια ακόμη και για την συμμετοχή. Ακόμη και όταν έλεγα σε προηγούμενη ανάρτηση «ένα από τα πιο εύκολα "4" των τελευταίων ετών» νιώθω κάπως άσχημα αφού η ευκολία είναι πάντα σε σχέση με την όλη την δυσκολία του διαγωνισμού. Εσύ έχεις συμμετάσχει στο παρελθόν και ξέρεις από πρώτο χέρι αυτές τις δυσκολίες.

Σίγουρα όλοι θέλουμε καλύτερα αποτελέσματα. Και όσοι απλώς παρακολουθούν, και όσοι τους προετοιμάζουμε και περισσότερο από όλους τα ίδια τα παιδιά. Σίγουρα όσοι βοηθάμε με την προετοιμασία νιώθουμε πως θα μπορούσαν να γίνουν περισσότερα. Φέτος τους δικούς μας τους έκανα 5-6 μαθήματα και μακάρι να υπήρχε χρόνος και για άλλα τόσα. Κάθε κριτική όμως οφείλει να συνοδεύεται από εφαρμόσιμες προτάσεις για το πως θα υπάρξει αυτή η βελτίωση. Ακόμη και το να μπορέσεις να μαζέψεις τα παιδιά για μαθήματα δεν είναι εύκολο.

Κώστα θα σε παρακαλούσα αν δεν το έχεις κάνει ήδη να ενημερώσεις τα ενδιαφερόμενα άτομα ότι προέβηκες στην καταγγελία διότι έχουν το δικαίωμα να εκφράσουν την άποψή τους.

[Κώστας Παππέλης]

Βεβαίως ενημερώθηκαν κύριε Χριστοφίδη.

Να εκφράσω επίσης το θαυμασμό μου και σε σας διότι έχετε συμβάλει τα μέγιστα μαζί με τους συναδέλφους σας στην άνοδο της Κύπρου τα τελευταία χρόνια.

[Demetres]

Θα ήθελα πολύ να δω τη λύση που επινόησε ο Στέλιος την ώρα του διαγωνισμού.

Πολλές φορές τα παιδιά αυτά δίνουν ιδιαίτερα ευφυείς λύσεις.

Αχιλλέα μου την έχει πει ο Στέλιος την λύση του και είναι αρκετά παρόμοια με την επίσημη. Αντί να την παραθέσω εγώ θα του ζητήσω αν θέλει να έχει την χαρά να μας την γράψει ο ίδιος.

[nickthegreek]

Πολλά συγχαρητήρια σε όλα ανεξαιρέτως τα παιδιά! Ειδικά η φετινή IMO δεν ήταν ιδανική για τους Έλληνες μαθητές λόγω της μη ύπαρξης δύσκολης γεωμετρίας, η οποία παραδοσιακά είναι η μεγαλύτερη δύναμή μας. Συγχαρητήρια και στα παιδιά της Κύπρου για την εξαιρετική εμφάνιση και τη σταθερά ανοδική πορεία στο διαγωνισμό.

Σχετικά με το πρόβλημα θέλω να γράψω μια σκέψη-πιθανό δρόμο προς την εύρεση της λύσης. Η απάντηση είναι .

Για να φτάσουμε στο συμπέρασμα αυτό, θέτουμε στη θέση του το ή το και εικάζουμε την απάντηση. Από την αρχή της περιστεροφωλιάς επίσης ξέρουμε ότι .

Τώρα υποθέτουμε ότι έχουμε βρει κατασκευή με και κοιτάζουμε τα γραφήματα των πολυωνύμων εκατέρωθεν της ισότητας. Πρέπει και αρκεί το ένα γράφημα να είναι πάντα πάνω από το άλλο. Τέλος, παρατηρούμε ότι οι ρίζες των πολυωνύμων περιγράφουν και τα τοπικά μέγιστα/ελάχιστα ή, πιο απλά, τα zig-zag που κάνει η συνάρτηση. Δοκιμάζουμε λοιπόν να τοποθετήσουμε τις ρίζες σε κάθε πλευρά έτσι ώστε τα "zig-zag patterns" να είναι τα ίδια. Αυτό μας οδηγεί στην ακόλουθη κατασκευή :





Το ότι αυτή λειτουργεί δεν είναι εύκολο, αλλά μπορεί να δειχθεί κάνοντας pairing τους παράγοντες. Αποδεικνύουμε ότι ξεχωριστά στα διαστήματα και μετά έξω από το .

Φιλικά,
Νίκος

[silouan]

Καταρχάς να δώσω συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά της Ελληνικής ομάδας και της Κυπριακής για την εμφάνισή τους, ξεχωρίζοντας ιδιαίτερα αυτούς που πήραν μετάλλιο. Έχουμε γλυκαθεί τον τελευταίο καιρό από τις συνεχείς επιτυχίες και νομίζω ξεχνάμε πόσο δύσκολο είναι να πάρει κανείς ένα μετάλλιο σε αυτό το διαγωνισμό. Μάλιστα όταν τα θέματα δεν ευνοούν καθόλου τις ελληνικές ομάδες.
(Σε όποιον πιστεύει το αντίθετο και θεωρεί αποτυχία τα αποτελέσματα (υπήρξε και παλιά στο mathematica μία τετοια συζήτηση) του συστήνω να πάρει τα θέματα γραμμένα σε χαρτί και να τα προσπαθήσει σε πραγματικό χρόνο.)
Παρόλα αυτά τα θέματα ήταν πολύ ομόρφα και πραγματικά άξιζαν τη θέση τους σε αυτό το διαγωνισμό.
Για μένα η διαφορά φέτος δημιουργείται λόγω του θέματος 2 και το πρόβλημα 5 είναι μεν άλγεβρα, αλλά είχαμε χρόνια να δούμε τέτοια διατύπωση (με εξίσωση) σε ΙΜΟ.

Ζήλεψα από το Νίκο και θα δώσω και εγώ το σκεπτικό μου για το πρόβλημα 5.

Βήμα1) Καταρχάς στο δεξί και στο αριστερό μέλος δεν πρέπει να υπάρχει ο ίδιος παράγοντας. Άρα το πρέπει να το διώξουμε για κάθε είτε από δεξιά είτε από αριστερά. Αυτό σημαίνει ότι θα σβήσουμε τουλάχιστον παράγοντες.

Βήμα 2 Η πρώτη απόπειρα είναι να διώξουμε ίδιο πλήθος παραγόντων από δεξιά και αριστερά. Δηλαδή και
Τότε σκεπτόμαστε ότι η εξίσωση που θα προκύψει (αν τα πάμε όλα σε ένα μέλος), θα έχει μεγιστοβάθμιο γιατί οι μεγιστοβάθμιοι με τα είναι μονικά και φεύγουν. Αν όμως τότε το πολυώνυμο θα έχει βαθμό (περιττό) άρα θα έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. Επομένως πρέπει . Για να γίνει αυτό, το άθροισμα των ριζών δεξιά θα πρέπει να είναι ίδιο με το άθροισμα των ριζών αριστερά. Ο πιο ευκολος τρόπος για να γίνει αυτό είναι να τα χωρίσουμε σε ζεύγη με ίδιο άθροισμα. Δηλαδή, 1 με 4 από τη μία, 2 με 3 από την άλλη (άθροισμα 5). 5 με 8 από τη μία, 6 με 7 από την άλλη κ.ο.κ.

Επομένως η εξίσωση που περιμένουμε να μην έχει λύση είναι η
(1)

Βήμα 3 Γιατί αυτή η εξίσωση δεν έχει λύση;
Προφανώς ισχύει

....


Επομένως αν είμαι έξω από το διάστημα τότε όλα τα μέλη είναι θετικά και με πολλαπλασιασμό η (1) δεν έχει λύση.
Επομένως το πρόβλημα είναι όταν είμαι στο διάστημα που και τα δύο μέλη κάποιας από τις παραπάνω είναι αρνητικό.
Πχ, ας πούμε χωρίς βλάβη ότι είμαστε στο (2,3). Τότε θέλω να δείξω ότι


Οπότε διαιρωντας και "χωρίζοντας τα αρνητικά από τα θετικά, θέλω να δείξω ότι

Όμως στο (2,3) η έχει μέγιστο στο το . Επομένως αρκεί να δείξουμε ότι


Καθεμιά από τις παραστάσεις , , κτλ έχει ελάχιστο στο (2,3) στο .
Επομένως έχουμε να δείξουμε ότι

Αυτό το αφήνω σαν "αριθμητική" άσκηση Η απόδειξή μου δεν είναι και ό,τι καλύτερο πιστεύω. Καλό είναι να το συμπληρώσει κομψά κάποιος για να έχουμε ολοκληρωμένη κομψή απόδειξη.

[Demetres]

Αυτό το αφήνω σαν "αριθμητική" άσκηση Η απόδειξή μου δεν είναι και ό,τι καλύτερο πιστεύω. Καλό είναι να το συμπληρώσει κομψά κάποιος για να έχουμε ολοκληρωμένη κομψή απόδειξη.

Μια από τα ίδια. Γι' αυτό αναφέρθηκα σε ανάλυση σε προηγούμενη ανάρτηση.

[GVlachos]

(για μένα και το 5 είναι συνδυαστική)

Γιώργο, όταν βρεις χρόνο βάλε την απόδειξή σου. Θα ήθελα να την δω διότι την δική μου δεν θα την έλεγα τόσο συνδυαστική. Περισσότερο άλγεβρα/ανάλυση θα την έλεγα

Δημήτρη η λύση μου είναι ουσιαστικά η ίδια με αυτές που είδαμε από το Νίκο και το Σιλουανό. Το θέμα είναι η πορεία της σκέψης που ακολουθείς για να φτάσεις στην κατασκευή, και θεωρώ ότι ο τρόπος σκέψης που σε οδηγεί στην κατασκευή αυτή είναι πιο κοντά σε προβλήματα συνδυαστικής παρά άλγεβρας. Θα γράψω κι εγώ το δικό μου motivation όταν βρω χρόνο (τώρα γράφω από το αεροδρόμιο).

Για την ώρα ας χαρούμε όλοι αυτά που αποκομίσαμε .Για τα άλλα,το πώς δηλαδή θα πάμε ακόμα πιο ψηλά, έχουμε καιρό !

Για μένα το πρόβλημα (αν υπάρχει πρόβλημα) είναι ότι διδάσκουμε στα παιδιά μεθόδους και λύσεις, χωρίς να εξηγούμε το motivation για τη λύση. Ακόμη και στο mathematica που βλέπουμε εξαιρετικές λύσεις, πολύ σπάνια κάποιος εξηγεί βήμα βήμα τις σκέψεις του. Κάτι τέτοιο, όπως έκαναν ο Νίκος και ο Σιλουανός πιο πάνω, είναι πολύ πιο διδακτικό για τους μαθητές από το να διαβάσουν 10 έτοιμες λύσεις.

Θεωρώ πως αν είχαμε μια συλλογή από 100 προβλήματα επιπέδου ΙΜΟ λυμμένα έτσι σε κάθε τομέα, οι μαθητές θα μπορούσαν να αποκτήσουν σχετικά γρήγορα μία καλή βάση σε όλους τους τομείς, και θα πήγαιναν στους διαγωνισμούς αυτούς με πολύ καλύτερη ψυχολογία.
Θα ξεκινήσω ένα τέτοιο εγχείρημα τις επόμενες μέρες, όπως έπρεπε να είχα κάνει από καιρό. Αν συμβάλλουμε τουλάχιστον οι παλιοί ολυμπιονίκες με 5 λύσεις έκαστος, το αποτέλεσμα θα ωφελήσει απίστευτα τους νέους μαθητές.

[Demetres]

Δημήτρη η λύση μου είναι ουσιαστικά η ίδια με αυτές που είδαμε από το Νίκο και το Σιλουανό. Το θέμα είναι η πορεία της σκέψης που ακολουθείς για να φτάσεις στην κατασκευή, και θεωρώ ότι ο τρόπος σκέψης που σε οδηγεί στην κατασκευή αυτή είναι πιο κοντά σε προβλήματα συνδυαστικής παρά άλγεβρας. Θα γράψω κι εγώ το δικό μου motivation όταν βρω χρόνο (τώρα γράφω από το αεροδρόμιο).

Εντάξει, δεν διέφερε και πολύ από την δική μου. Απλά το θεώρησα περισσότερο άλγεβρα.

Για μένα το πρόβλημα (αν υπάρχει πρόβλημα) είναι ότι διδάσκουμε στα παιδιά μεθόδους και λύσεις, χωρίς να εξηγούμε το motivation για τη λύση. Ακόμη και στο mathematica που βλέπουμε εξαιρετικές λύσεις, πολύ σπάνια κάποιος εξηγεί βήμα βήμα τις σκέψεις του. Κάτι τέτοιο, όπως έκαναν ο Νίκος και ο Σιλουανός πιο πάνω, είναι πολύ πιο διδακτικό για τους μαθητές από το να διαβάσουν 10 έτοιμες λύσεις.

Θεωρώ πως αν είχαμε μια συλλογή από 100 προβλήματα επιπέδου ΙΜΟ λυμμένα έτσι σε κάθε τομέα, οι μαθητές θα μπορούσαν να αποκτήσουν σχετικά γρήγορα μία καλή βάση σε όλους τους τομείς, και θα πήγαιναν στους διαγωνισμούς αυτούς με πολύ καλύτερη ψυχολογία.
Θα ξεκινήσω ένα τέτοιο εγχείρημα τις επόμενες μέρες, όπως έπρεπε να είχα κάνει από καιρό. Αν συμβάλλουμε τουλάχιστον οι παλιοί ολυμπιονίκες με 5 λύσεις έκαστος, το αποτέλεσμα θα ωφελήσει απίστευτα τους νέους μαθητές.

Όντως έχεις πολύ μεγάλο δίκιο σε αυτό.