Μέγιστο βασανιστήριο

KARKAR · #1

: Μέγιστο - βασανιστήριο.png (7.51 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Οι κάθετες πλευρές AB,AC

, του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , έχουν άθροισμα

.

Φέρουμε τη διχοτόμο

και τη διάμεσο

. Αναζητούμε το μέγιστο του (ADM)

.

#2

KARKAR έγραψε:Μέγιστο - βασανιστήριο.pngΟι κάθετες πλευρές , του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , έχουν άθροισμα .

Φέρουμε τη διχοτόμο και τη διάμεσο . Αναζητούμε το μέγιστο του .

: Μέγιστο βασανιστήριο.png (7.78 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές

$\displaystyle{\frac{{(ADM)}}{{(ABM)}} = \frac{{DM}}{{BM}} = \frac{{BM - BD}}{{BM}} = 1 - \frac{{2ax}}{{12a}} = \frac{{6 - x}}{6} \Leftrightarrow }$ $\boxed{(ADM) = \frac{{x(6 - x)(12 - x)}}{{24}}}$

Με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{x(6 - x)(12 - x)}}{{24}}}$ , παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{x = 6 - 2\sqrt 3 }$

(εφόσον AB<AC

) και είναι $\boxed{{(ADM)_{\max }} = 2\sqrt 3 }$

tdsotm111 · #3

$y=BM=MC=AM=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+(12-x)^2}$

Από νόμο των διχοτόμων: $DC=\frac{BC\cdot AC}{AB+AC}=\frac{2y(12-x)}{12}=\frac{y(12-x)}{6}$

$sin(D\hat{M}A)=sin(2C)=2sinCcosC=2\cdot \frac{x}{2y}\frac{12-x}{2y}=\frac{x(12-x)}{2y^2}$

$(ADM)=E(x)=\frac{1}{2}MD\cdot MA \cdot sin(D\hat{M}A)=\frac{1}{2}\cdot \frac{y(6-x)}{6}\cdot y \cdot \frac{x(12-x)}{2y^2}=\frac{1}{24}(x^3-18x^2+72x)$

$E'(x)=\frac{1}{8}(x^2-12x+24)$ με ρίζες τις $x_1=6-2\sqrt{3}$ , $x_2=6+2\sqrt{3}$ , $x \in [0,12[$

Aπό πίνακα μονοτονίας έχουμε θέση μεγίστου στο x_1

με $E(x_1)=2\sqrt{3}$

(στο x_2

έχουμε θέση ελαχίστου με $Ε(x_2)=-2\sqrt{3}<E(x_1)$ και απορρίπτεται.

Επίσης το σύνολο τιμών στο [0,12]

είναι το $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$ )

Ανδρέας Γκόγκος

KARKAR · #4

Ε , δεν ήταν και "φάλαγγα" ! Ας σημειωθεί ότι η μεγιστοποίηση συμβαίνει όταν $\hat{C}=15^0$

Μέγιστο βασανιστήριο

Μέγιστο βασανιστήριο

Re: Μέγιστο βασανιστήριο

Re: Μέγιστο βασανιστήριο

Re: Μέγιστο βασανιστήριο

Μέλη σε σύνδεση