Classic

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=cosx \cdot \left ( 1-ln\left ( cosx \right ) \right ), |x|<\frac{\pi}{2}}$

1) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία

2) Nα αποδειχθεί οτι η εξίσωση f(x)=x

έχει μοναδική λύση

3) Να αποδειχθεί οτι είναι κοίλη

4) Να σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση

5) Να υπολογιστεί το εμβαδό μεταξύ $C_f, x=0, y=0, x= \frac{\pi}{6}$

Tolaso J Kos · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=cosx \cdot \left ( 1-ln\left ( cosx \right ) \right ), |x|<\frac{\pi}{2}}$

1) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία

2) Nα αποδειχθεί οτι η εξίσωση έχει μοναδική λύση

3) Να αποδειχθεί οτι είναι κοίλη

4) Να σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση

5) Να υπολογιστεί το εμβαδό μεταξύ $C_f, x=0, y=0, x= \frac{\pi}{6}$

1. Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ ως πράξεις παραγωγίσιμων. Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x) &=\left ( \cos x - \cos x \ln \cos x \right )' \\ &= -\sin x + \sin x \ln \cos x + \sin x \\ &= \sin x \ln \cos x \end{aligned}}$

Συνεπώς η

είναι γνήσια φθίνουσα $[0,\frac{\pi}{2})$ και γνήσια αύξουσα στο $(-\frac{\pi}{2}, 0]$ .

2. Παρατηρούμε ότι στο $\left [ 0, \frac{\pi}{3} \right ]\subseteq\left [ 0, \frac{\pi}{2} \right )$ η συνάρτηση g(x)=f(x)-x

είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών. Είναι g(0)=f(0)= 1

και $g\left ( \frac{\pi}{3} \right )= f \left ( \frac{\pi}{3} \right ) - \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{3} + \frac{\ln 2}{2} <0$ . Οπότε από θεώρημα Bolzano η

στο εν λόγω διάστημα έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Όμως η

είναι γνήσια φθίνουσα. Αυτό ισχύει διότι

$\displaystyle{\begin{aligned} g'(x) &=f'(x)-1 \\ &= \sin x \log \cos x - 1 \end{aligned}}$

Κατά συνέπεια g'(x)<0

για κάθε $x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ . (γιατί ; ) Οπότε η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

3. Δε μπορώ να σκεφτώ κάτι για αυτό αυτή τη στιγμή. Πέρασα στη δεύτερη παράγωγο αλλά δε μπορώ να προσδιορίσω το πρόσημό της.

4. Στο εν λόγω διάστημα η

είναι θετική (απλό - παίρνοντας και ως δεδομένο το προηγούμενο ερώτημα.) Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{0}^{\pi/6} f(x) \, {\rm d}x\\ &= \int_{0}^{\pi/6} \left ( \cos x - \cos x \ln \cos x \right ) \, {\rm d}x\\ &= \int_{0}^{\pi/6} \cos x \, {\rm d}x - \int_{0}^{\pi/6} \cos x \ln \cos x \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{2}- \int_{0}^{\pi/6} \cos x \ln \left ( \sqrt{1-\sin^2 x} \right ) \, {\rm d}x\\ &\!\!\!\!\!\!\overset{u=\sin x}{=\! =\! =\! =\!} \frac{1}{2} - \int_{0}^{1/2} \ln \sqrt{1-u^2} \, {\rm d}u \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1/2} \ln \left [ \left ( 1-u \right ) \left ( 1+u \right ) \right ] \, {\rm d}u \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left [ \int_{0}^{1/2} \ln (1-u) \, {\rm d}u + \int_{0}^{1/2} \ln (1+u) \, {\rm d}u \right ] \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left [ \frac{\log 2}{2} -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln \left ( \frac{27}{8} \right ) - \frac{1}{2} \right ] \\ &=\cdots \\ &=1-\frac{1}{4} \ln \frac{27}{4} \end{aligned}}$

διότι για παράδειγμα έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1/2} \ln (1-u) \, {\rm d}u &= \left [ -\left ( 1-u \right ) \ln (1-u) \right ]_0^{1/2} - \int_{0}^{1/2} \, {\rm d}u \\ &=\frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{2} \end{aligned}}$

και παρόμοια για το άλλο.

chris · #3

erxmer έγραψε: 3) Να αποδειχθεί οτι είναι κοίλη

Είναι $\displaystyle f''(x)=cosx \cdot lncosx -\frac{sin^2x}{cosx}, x \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

Για x=0

είναι

και στις υπόλοιπες τιμές είναι f''(x)<0

δεδομένου του ότι cosx >0

για $x \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ και lncosx <0

στο ίδιο διάστημα. Άρα η

κοίλη.

Classic

Classic

Re: Classic

Re: Classic

Μέλη σε σύνδεση