Ας υπολογίσουμε πρώτα το

.
Θα μετρήσουμε αρχικά το πλήθος των λύσεων της

όπου ακριβώς

από τα

είναι διάφορα του

.
Έχουμε

τρόπους να επιλέξουμε ποια δεν θα ισούνται με

και

επιλογές για το πρόσημο των μη μηδενικών στοιχείων. Μένει να βρούμε πόσες λύσεις έχει η

στους θετικούς ακεραίους.
Ισοδύναμα θέλουμε το πλήθος των λύσεων της

στους θετικούς ακεραίους. Είναι γνωστό ότι η απάντηση ισούται με

. [Αν δεν το γνωρίζετε δοκιμάστε το!]
Καταλήγουμε στο
Θέτω

και

.
Ονομάζω μια ακολουθία

μη αρνητικών αριθμών log-concave αν
(α)

για κάθε

και
(β) Η ακολουθία δεν έχει ενδιάμεσες μηδενικές τιμές. Δηλαδή αν

τότε είτε

για κάθε

είτε

για κάθε

.
Θέλω να δείξω ότι η

είναι log-concave.
Είναι γνωστό (και απλό) ότι οι

και

είναι log-concave.
Αρκεί να δείξω ότι αν οι ακολουθίες

είναι log-concave το ίδιο ισχύει και για την ακολουθία
Θέλω λοιπόν να δείξω ότι
Παρατηρώ αρχικά ότι

. Πράγματι
- Αν

η ανισότητα είναι προφανής.
- Αν τα

είναι όλα διάφορα του

, τότε είναι

- Αν

για κάποιο

τότε είτε

είτε

. Και στις δύο περιπτώσεις η ανισότητα είναι προφανής.
Ομοίως έχω

.
Ανάλογες ανισότητες ισχύουν ασφαλώς και για τα

. Οπότε για κάθε

έχω
το οποίο δίνει
Προσθέτοντας λαμβάνω την

όπως ήθελα. [Τα αθροίσματα είναι πεπερασμένα οπότε δεν υπάρχει οποιοδήποτε θέμα σύγκλισης.]