IMC 2016/2/4
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
IMC 2016/2/4
Έστω θετικός ακέραιος . Για κάθε μη αρνητικό ακέραιο συμβολίζουμε με το πλήθος των τα οποία ικανοποιούν .
Να δειχθεί ότι για κάθε .
Να δειχθεί ότι για κάθε .
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2016/2/4
Ας υπολογίσουμε πρώτα το .
Θα μετρήσουμε αρχικά το πλήθος των λύσεων της όπου ακριβώς από τα είναι διάφορα του .
Έχουμε τρόπους να επιλέξουμε ποια δεν θα ισούνται με και επιλογές για το πρόσημο των μη μηδενικών στοιχείων. Μένει να βρούμε πόσες λύσεις έχει η στους θετικούς ακεραίους.
Ισοδύναμα θέλουμε το πλήθος των λύσεων της στους θετικούς ακεραίους. Είναι γνωστό ότι η απάντηση ισούται με . [Αν δεν το γνωρίζετε δοκιμάστε το!]
Καταλήγουμε στο
Θέτω και .
Ονομάζω μια ακολουθία μη αρνητικών αριθμών log-concave αν
(α) για κάθε και
(β) Η ακολουθία δεν έχει ενδιάμεσες μηδενικές τιμές. Δηλαδή αν τότε είτε για κάθε είτε για κάθε .
Θέλω να δείξω ότι η είναι log-concave.
Είναι γνωστό (και απλό) ότι οι και είναι log-concave.
Αρκεί να δείξω ότι αν οι ακολουθίες είναι log-concave το ίδιο ισχύει και για την ακολουθία
Θέλω λοιπόν να δείξω ότι
Παρατηρώ αρχικά ότι . Πράγματι
- Αν η ανισότητα είναι προφανής.
- Αν τα είναι όλα διάφορα του , τότε είναι
- Αν για κάποιο τότε είτε είτε . Και στις δύο περιπτώσεις η ανισότητα είναι προφανής.
Ομοίως έχω .
Ανάλογες ανισότητες ισχύουν ασφαλώς και για τα . Οπότε για κάθε έχω
το οποίο δίνει
Προσθέτοντας λαμβάνω την όπως ήθελα. [Τα αθροίσματα είναι πεπερασμένα οπότε δεν υπάρχει οποιοδήποτε θέμα σύγκλισης.]
Θα μετρήσουμε αρχικά το πλήθος των λύσεων της όπου ακριβώς από τα είναι διάφορα του .
Έχουμε τρόπους να επιλέξουμε ποια δεν θα ισούνται με και επιλογές για το πρόσημο των μη μηδενικών στοιχείων. Μένει να βρούμε πόσες λύσεις έχει η στους θετικούς ακεραίους.
Ισοδύναμα θέλουμε το πλήθος των λύσεων της στους θετικούς ακεραίους. Είναι γνωστό ότι η απάντηση ισούται με . [Αν δεν το γνωρίζετε δοκιμάστε το!]
Καταλήγουμε στο
Θέτω και .
Ονομάζω μια ακολουθία μη αρνητικών αριθμών log-concave αν
(α) για κάθε και
(β) Η ακολουθία δεν έχει ενδιάμεσες μηδενικές τιμές. Δηλαδή αν τότε είτε για κάθε είτε για κάθε .
Θέλω να δείξω ότι η είναι log-concave.
Είναι γνωστό (και απλό) ότι οι και είναι log-concave.
Αρκεί να δείξω ότι αν οι ακολουθίες είναι log-concave το ίδιο ισχύει και για την ακολουθία
Θέλω λοιπόν να δείξω ότι
Παρατηρώ αρχικά ότι . Πράγματι
- Αν η ανισότητα είναι προφανής.
- Αν τα είναι όλα διάφορα του , τότε είναι
- Αν για κάποιο τότε είτε είτε . Και στις δύο περιπτώσεις η ανισότητα είναι προφανής.
Ομοίως έχω .
Ανάλογες ανισότητες ισχύουν ασφαλώς και για τα . Οπότε για κάθε έχω
το οποίο δίνει
Προσθέτοντας λαμβάνω την όπως ήθελα. [Τα αθροίσματα είναι πεπερασμένα οπότε δεν υπάρχει οποιοδήποτε θέμα σύγκλισης.]
Re: IMC 2016/2/4
Δημήτρη ωραία απόδειξη!
Μπορούμε να κάνουμε ένα διαφορετικό τελείωμα ως εξής:
Η απόδειξη γίνεται μέσω της ανισότητας Prékopa–Leindler.
Δείτε πχ εδώ: https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm ... e_function
Μπορούμε να κάνουμε ένα διαφορετικό τελείωμα ως εξής:
Αυτό ισχύει γενικά: Αν έχουμε δύο συναρτήσεις που είναι log-concave, τότε η συνέλιξή τους (convolution) είναι επίσης log-concave και τελειώσαμε.Demetres έγραψε: Θέλω να δείξω ότι η είναι log-concave.
Είναι γνωστό (και απλό) ότι οι και είναι log-concave.
Αρκεί να δείξω ότι αν οι ακολουθίες είναι log-concave το ίδιο ισχύει και για την ακολουθία
Η απόδειξη γίνεται μέσω της ανισότητας Prékopa–Leindler.
Δείτε πχ εδώ: https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm ... e_function
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες