Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.

#1

Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία $\displaystyle{{a_n} = \left[ {n + \sqrt n + \frac{1}{2}} \right]\;,\;n \in N*}$ είναι η ακολουθία των μη τετράγωνων φυσικών αριθμών, δηλαδή $\displaystyle{2,3,5,6,7,8,10,..}$

raf616 · #2

Σεραφείμ έγραψε:Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία $\displaystyle{{a_n} = \left[ {n + \sqrt n + \frac{1}{2}} \right]\;,\;n \in N*}$ είναι η ακολουθία των μη τετράγωνων φυσικών αριθμών, δηλαδή $\displaystyle{2,3,5,6,7,8,10,..}$

Καλησπέρα, μια προσπάθεια:

Έστω $k^2 \leq n < (k+1)^2$ . Έχουμε δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ $k^2 \leq n \leq k^2 + k$ . Είναι τότε $k + \dfrac{1}{2} \leq \sqrt{n} + \dfrac{1}{2} \leq \sqrt{k^2 + k} + \dfrac{1}{2}$ .

Όμως $\sqrt{k^2 + k} + \dfrac{1}{2} < k+1$ (προκύπτει απλά με ύψωση στο τετράγωνο). Άρα $\displaystyle{\lfloor{\sqrt{n} + \dfrac{1}{2}\rfloor} = k}$ .

Επομένως, αν $n = k^2 + a, 0 \leq a \leq k$ είναι $a_n = k^2 + k + a, 0 \leq a \leq k$ .

$\bullet$ $k^2 + k + 1 \leq n < (k+1)^2$ . Είναι τότε $\sqrt{k^2 + k + 1} + \dfrac{1}{2} \leq \sqrt{n} + \dfrac{1}{2} < k + \dfrac{3}{2}$ .

Όμως $\sqrt{k^2 + k + 1} + \dfrac{1}{2} > k+1$ (προκύπτει απλά με ύψωση στο τετράγωνο). Άρα $\displaystyle{\lfloor{\sqrt{n} + \dfrac{1}{2}\rfloor} = k+1}$ .

Επομένως, αν $n = k^2 + k + a, 1 \leq a \leq k$ είναι $a_n = k^2 + 2k + a + 1, 1 \leq a \leq k$ .

Τελικά, οι τιμές της ακολουθίας προκύπτουν ως η ένωση των συνόλων $A_k = \{k^2 + k, k^2+k+1, \cdots, k^2+2k, k^2+2k+2, \cdots, k^2 + 3k+1\}$ με $k \geq 1$ .

Προκύπτει έτσι το ζητούμενο αφού δεν περιλαμβάνονται τέλεια τετράγωνα, το πρώτο στοιχείο είναι το

και το πρώτο στοιχείο του $A_{k+1}$ είναι το τελευταίο του A_k

αυξημένο κατά ένα.

#3

raf616 έγραψε:Έστω $k^2 \leq n < (k+1)^2$ . Έχουμε δύο περιπτώσεις: .................

Ωραία Ραφαήλ. Όντως το κλειδί είναι να ελέγξουμε τις τιμές του $\displaystyle{n}$ για $\displaystyle{{k^2} \le n < {\left( {k + 1} \right)^2}}$ .

Δεν ήταν πολύ δύσκολη, απλά μου άρεσε ότι αυτή η ακολουθία εκφράζει όλους τους μη τετράγωνους φυσικούς αριθμούς.

Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.

Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.

Re: Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.

Re: Μια ενδιαφέρουσα ακολουθία.

Μέλη σε σύνδεση