Ζητώ τη γωνία

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6956
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ζητώ τη γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 14, 2016 12:43 am

Να βρεθεί η οξεία γωνία x για την οποία ισχύει: \displaystyle{tanx = \frac{{\cot {{20}^0}}}{{3 - 4\sin {{10}^0}}}}


Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 890
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ζητώ τη γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Κυρ Αύγ 14, 2016 2:00 pm

george visvikis έγραψε:Να βρεθεί η οξεία γωνία x για την οποία ισχύει: \displaystyle{tanx = \frac{{\cot {{20}^0}}}{{3 - 4\sin {{10}^0}}}}
\frac{cot20}{3-4sin10} = \frac{1}{tan20(3-4sin10)} = \frac{2}{(3-4sin10)(1-tan^{2}20)} \cdot \frac{1}{tan40} =


= \frac{2}{(3-4sin10)(1-tan^{2}20)} \cdot tan50 =tanx


Θα αποδείξω ότι

(3-4sin10)(1-tan^{2}20)=2 \Leftrightarrow (3-4sin10)(cos^{2}20-sin^{2}20)=2cos^{2}20 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow (3-4sin10)cos40=2cos^{2}20 \Leftrightarrow (3-4sin10)cos40=cos40+1 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow cos40=\frac{1}{2-4sin10} \Leftrightarrow 2cos40= \frac{1}{1-2sin10} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 4cos^{2}40-2+2=\frac{1}{(1-2sin10)^{2}} \Leftrightarrow 2cos80+2= \frac{1}{(1-2sin10)^{2}} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 2(sin10+1)(1-2sin10)^{2}=1 \Leftrightarrow 4sin^{3}10-3sin10+1=\frac{1}{2} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow -sin30+1=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 0=0


Επομένως tanx=tan50 \Leftrightarrow x=50 , αφού πρόκειται για οξεία γωνία.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6090
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ζητώ τη γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Αύγ 15, 2016 10:02 pm

Θεωρώ ότι το πρόβλημα είναι αρκετά δύσκολο. Και εξηγούμαι.

Άσκηση 1η:

Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{\tan x=\frac{\cot 20^o}{3-4\sin 10^o}.}

Άσκηση 2η:

Αποδείξτε ότι

\displaystyle{\tan 50^o=\frac{\cot 20^o}{3-4\sin 10^o}.}

Αν και φαινομενικά είναι συγγενείς, θεωρώ ότι από άποψη δυσκολίας είναι η μέρα (Άσκηση 2η) με τη νύχτα (Άσκηση 1η).

Η λύση του Λάμπρου επιβεβαιώνει τα λεγόμενά μου. Στο σημείο
Λάμπρος Μπαλός έγραψε: Θα αποδείξω ότι

\displaystyle{(3-4sin10)(1-tan^{2}20)=2}
βγάζει λαγό από το καπέλο. Τη λύση αυτή τη βρίσκω τελείως...unmotivated.

Πάντως, αν έχουμε εκ των προτέρων γνώση του αποτελέσματος, μπορούμε να πούμε και το εξής:

\displaystyle{\frac{\cot 20^o}{3-4\sin 10^o}=\frac{\cos 20^o}{\sin 20^o (3-4\sin 10^o)}=\frac{2\cos ^2 20^o}{2\sin 20^o\cos 20^o (3-4\sin 10^o)}=}

\displaystyle{=\frac{1+\cos 40^o}{\sin 40^o(3-4\sin 10^o)}=\frac{1}{\cos 50^o}\frac{1+\cos 40^o}{3-4\sin 10^o}}.

Αποδεικνύω ότι

\displaystyle{\frac{1+\cos 40^o}{3-4\sin 10^o}=\sin 50^o} (ο δικός μου λαγός)

δηλαδή ότι

\displaystyle{1+\cos 40^o=\cos 40^o (3-4\sin 10^o)}.

Αυτή γράφεται

\displaystyle{4\sin 10^o\cos 40^o=2\cos 40^o-1}

και είναι φανερό ότι ισχύει, αφού γίνει το γινόμενο στα αριστερά άθροισμα.

Γιώργο, ποια είναι η απόδειξή σου;


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6956
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ζητώ τη γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 16, 2016 9:24 am

Λάμπρο και Θάνο Καλημέρα!

Αφού σας ευχαριστήσω για τις λύσεις, να πω ότι και η δική μου απόδειξη είναι εξαναγκαστική (βγάζει λαγό απ' το καπέλο). Μοιάζει με του Θάνου, αλλά διαφέρει σε μικρολεπτομέρειες.

\displaystyle{3 - 4\sin {10^0} = 3 - 4\cos {80^0} = 7 - 8{\cos ^2}{40^0} = \frac{{\cos {{40}^0}\left( {6 - 8{{\cos }^2}{{40}^0} + 1} \right)}}{{\cos {{40}^0}}} = }

\displaystyle{\frac{{ - 2\left( {4{{\cos }^3}{{40}^0} - 3\cos {{40}^0}} \right) + \cos {{40}^0}}}{{\cos {{40}^0}}} = \frac{{ - 2\cos {{120}^0} + \cos {{40}^0}}}{{\cos {{40}^0}}} \Leftrightarrow }

\boxed{3 - 4\sin {10^0} = \frac{{1 + \cos {{40}^0}}}{{\cos {{40}^0}}}} (1)

\displaystyle{\frac{{\cot {{20}^0}}}{{3 - 4\sin {{10}^0}}}\mathop  = \limits^{(1)} \frac{{\cos {{20}^0} \cdot \cos {{40}^0}}}{{\sin {{20}^0}(1 + \cos {{40}^0})}} = \frac{{\cos {{20}^0} \cdot \cos {{40}^0}}}{{2\sin {{20}^0} \cdot {{\cos }^2}{{20}^0}}} = \frac{{\cos {{40}^0}}}{{\sin {{40}^0}}} = \cot {40^0} = \tan {50^0}}, κλπ...

ΥΓ. Αργότερα θα γράψω και την πηγή έμπνευσης.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6956
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ζητώ τη γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 17, 2016 11:34 am

george visvikis έγραψε: ΥΓ. Αργότερα θα γράψω και την πηγή έμπνευσης.
Πηγή έμπνευσης είναι αυτή η άσκηση.
Έχει ήδη αποδειχθεί γεωμετρικά ότι \hat{BED}=50^0 (η λύση μου είναι ακριβώς ίδια με του Μιχάλη). Επειδή όμως το HECD είναι

εγγράψιμο, η γωνία \hat{ECD} χωρίζεται σε 20^0 και 50^0. Τώρα με τριγωνομετρικό Ceva και κάποιες αλχημείες,

δημιουργήθηκε η παρούσα άσκηση.
50 degrees.png
50 degrees.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές
\displaystyle{\frac{{\sin {{10}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} \cdot \frac{{\sin {{40}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} \cdot \frac{{\sin {{50}^0}}}{{\sin {{20}^0}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{4\sin {{10}^0} \cdot 2\sin {{20}^0}\cos {{20}^0} \cdot \sin {{50}^0}}}{{\sin {{20}^0}}} = 1 \Leftrightarrow }

\displaystyle{(8\sin {10^0}\cos {20^0})sin{50^0} = 1 \Leftrightarrow 2 - 4\sin {10^0} + 1 = \frac{1}{{\sin {{50}^0}}} + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{3 - 4\sin {{10}^0}}} = \frac{{\sin {{50}^0}}}{{1 + \cos {{40}^0}}} \Leftrightarrow }

\displaystyle{\frac{1}{{3 - 4\sin {{10}^0}}} = \frac{{tan{{50}^0}\cos {{50}^0}}}{{2{{\cos }^2}{{20}^0}}} = \frac{{tan{{50}^0} \cdot 2\sin {{20}^0}\cos {{20}^0}}}{{2{{\cos }^2}{{20}^0}}} \Leftrightarrow } \boxed{\tan {50^0} = \frac{{\cot {{20}^0}}}{{3 - 4\sin {{10}^0}}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης