ΣΥΣΤΗΜΑ

APOSTOLAKIS · #1

Να λυθεί το σύστημα:
$\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+...+\sqrt{x_{10}}=x_{1}+x_{2}+...+x_{10}$
$\sqrt{x_{1}+1}+\sqrt{x_{2}+1}+...+\sqrt{x_{10}+1}=x_{1}+x_{2}+...+x_{10}+10$
οπου $x_{1},x_{2}, ..., x_{10}$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
ΥΓ: Ήταν περασμένη η ώρα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Νομίζω ότι το σωστό είναι να γραφεί ότι
οι αριθμοί είναι μη αρνητικοί.

Ορέστης Λιγνός · #3

APOSTOLAKIS έγραψε:Να λυθεί το σύστημα:
$\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+...+\sqrt{x_{10}}=x_{1}+x_{2}+...+x_{10}$
$\sqrt{x_{1}+1}+\sqrt{x_{2}+1}+...+\sqrt{x_{10}+1}=x_{1}+x_{2}+...+x_{10}+10$
οπου $x_{1},x_{2}, ..., x_{10}$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί.
Ν. Ζ. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ
ΥΓ: Ήταν περασμένη η ώρα.

Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι

$10((x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)+...(x_{10}+1)) \geq (\sqrt{x_1+1}+\sqrt{x_2+1}+...+\sqrt{x_{10}+1})^2 \Leftrightarrow 10(x_1+x_2+...+x_{10}+10) \geq (x_1+x_2+...+x_{10}+10)^2 \Leftrightarrow x_1+x_2+...x_{10}+10 \leq 10 \Leftrightarrow x_1+x_2+...x_{10} \leq 0 \Leftrightarrow x_1=x_2+...=x_{10}=0$ ,
τιμές που επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις του συστήματος.

Άρα, $x_1=x_2=...=x_{10}=0$

#4

Η δεύτερη εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{\sqrt{x_1+1}+\sqrt{x_2+1}+\cdots \sqrt{x_{10}+1}=\sqrt{x_1}+1+\sqrt{x_2}+1+\cdots \sqrt{x_{10}}+1}$ .

Επειδή ισχύει $\displaystyle{\sqrt{a+1}\leq \sqrt{a}+1}$ για κάθε $\displaystyle{a\geq 0}$ με την ισότητα αν και μόνο αν $\displaystyle{a=0,}$ προκύπτει $\displaystyle{x_1=x_2=...=x_{10}=0}$ , τιμές που ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις.

christodoulos703 · #5

Αναρωτιέμαι αν πιο απλά θα μπορούσαμε να πούμε,χωρις βλάβη της γενικότητας,οτι $x_1 ≤x_2≤x_3≤x_4≤x_5≤x_6≤x_7≤x_8≤x_9≤x_{10}.Και έτσι να αντιστοιχησουμε το \displaystyle{x_1 +1}$ με το $\displaystyle{\sqrt{x_1} +1}$ δηλαδη να πούμε $\displaystyle{x_1+1=\sqrt{x_1}+1}$ και να συνεχίσουμε τη διαδικασία αυτή ως τον δέκατο όρο έτσι ώστε να προκύψει το $\displaystyle{x_1=x_2=...=x_{10}.$

S.E.Louridas · #6

Καταρχάς πρέπει $\displaystyle{{x_1},{x_2},...,{x_n} \geqslant 0.}$

Από τη δεύτερη εξίσωση παίρνουμε:

$\displaystyle{{x_1}\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x_1} + 1} }} - 1} \right) + {x_2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x_2} + 1} }} - 1} \right) + ... + {x_{10}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {{x_{10}} + 1} }} - 1} \right) = 0,}$ με $\displaystyle{\frac{1}{{\sqrt {{x_k} + 1} }}\leq 1,\;\;k=1,2,...,10.}$

Άρα $\displaystyle{{x_1} = {x_2} = ... = {x_{10}} = 0,}$ τιμές που επαληθεύουν τις εξισώσεις του συστήματος.

APOSTOLAKIS · #7

Ας το δούμε και έτσι:
α)Μπορούμε να βρούμε τους μη αρνητικούς αριθμούς $x_{1}, x_{2}, ..., x_{10}$ για τους οποίους ισχύει:
$\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+...+\sqrt{x_{10}}=x_{1}+x_{2}+...+x_{10}$ ;

Επιπλεον:
β)Να βρείτε τους μη αρνητικούς αριθμούς $x_{1}, x_{2}, ..., x_{10}$ για τους οποίους ισχύει:
$\sqrt{x_{1}x_{2}}+\sqrt{x_{2}x_{3}}+ ... + \sqrt{x_{9}x_{10}}+\sqrt{x_{10}x_{1}}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ ... + x_{10}$

ΥΓ: Εξαιρετικές λύσεις!!!!!!!!!!!
N. Z. AΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

Ιωάννης Αλωνιστιωτης · #8

Καλησπέρα

,

μια απλή προσέγγιση στο ερώτημα που προστέθηκε και αναμένω βελτιώσεις: Να βρείτε τους μη αρνητικούς αριθμούς $x_{1},x_{2},...x_{10}$
για τους οποίους ισχύει: $\sqrt{x_{1}x_{2}}+\sqrt{x_{2}x_{3}}+...+\sqrt{x_{9}x_{10}}+\sqrt{x_{10}x_{1}}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{10}$

Έχουμε από ΑΜ-ΓΜ : $x_{1}+x_{2}\geq 2\sqrt{x_{1}x_{2}}$ , $x_{2}+x_{3}\geq 2\sqrt{x_{2}x_{3}}$ ... , $x_{10}+x_{1}\geq 2\sqrt{x_{10}x_{1}}$ επομένως έχω 9 διαδοχικές σχέσεις τις οποίες αν προσθέσω κατά μέλη έχω :
$2(x_{1}+x_{2}+...+x_{10})\geq 2(\sqrt{x_{1}x_{2}}+...+\sqrt{x_{10}x_{1}})\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2}+...+x_{10})\geq (\sqrt{x_{1}x_{2}}+...+\sqrt{x_{10}x_{1}})$
Και γνωρίζουμε ότι η ισότητα ισχύει μόνο αν οι αριθμοί $x_{1},...,x_{10}$ είναι ίσοι, οπότε η ισότητα ισχύει για μη αρνητικούς $x_{1},...,x_{10}$ για τους οποίους ισχύει $x_{1}=x_{2}=...=x_{10}$

sot arm · #9

APOSTOLAKIS έγραψε:Ας το δούμε και έτσι:
Μπορούμε να βρούμε τους μη αρνητικούς αριθμούς $x_{1}, x_{2}, ..., x_{10}$ για τους οποίους ισχύει:
$\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+...+\sqrt{x_{10}}=x_{1}+x_{2}+...+x_{10}$ ;

Επιπλεον:
Να βρείτε τους μη αρνητικούς αριθμούς $x_{1}, x_{2}, ..., x_{10}$ για τους οποίους ισχύει:
$\sqrt{x_{1}x_{2}}+\sqrt{x_{2}x_{3}}+ ... + \sqrt{x_{9}x_{10}}+\sqrt{x_{10}x_{1}}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+ ... + x_{10}$

ΥΓ: Εξαιρετικές λύσεις!!!!!!!!!!!
N. Z. AΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

Για την δεύτερη, πολλαπλασιάζω επί 2 και η εξίσωση γράφεται, μετά από απλή άλγεβρα:
$\displaystyle{(\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}})^{2}+...(\sqrt{x_{10}}-\sqrt{x_{1}})^{2}=0 }$
και άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις με $\displaystyle{x_{1}=x_{2}=...=x_{10}$
Διαφορετικά, μπορούμε να το φανταστούμε ως το άθροισμα των τετραγώνων των οριζουσών της μορφής:
$\displaystyle{\begin{vmatrix} \sqrt{x_{i}} & 1\\ \sqrt{x_{j}} & 1 \end{vmatrix}}$
που από την ταυτότητα Lagrange προκύπτει ισότητα στην BCS και καταλήγουμε στα παραπάνω.

APOSTOLAKIS · #10

Μια επιπλεόν ιδέα:
γ) Αν για τους θετικούς αριθμούς $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ ισχύουν:

$x_{1}=1$ και

$\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}+ ... + \sqrt{x_{n}}=\frac{(n+1)\cdot \sqrt{x_{n}}}{2}$ , για κάθε $n\epsilon N$
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\sqrt{x_{n}}$ είναι φυσικός αριθμός

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Δεν νομίζω έτσι οπως είναι το γ) να είναι σωστό.
Μήπως θες να γράψεις κάτι άλλο;

Συμπλ.24-8-16 22.40
Μετά την διευκρίνηση θεωρώ ότι το γ) είναι εντάξει.

ΣΥΣΤΗΜΑ

ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Μέλη σε σύνδεση