Μήκος έλλειψης

parmenides51 · #1

Μια άσκηση που θεώρησα ενδιαφέρουσα, δεν ξέρω εαν λύνεται λυκειακά

: Untitled.png (14.33 KiB) Προβλήθηκε 3734 φορές

Αν ο μεγάλος άξονας μιας έλλειψης είναι 8 και ο μικρός 6,
να αποδείξετε ότι το μήκος της έλλειψης είναι μεγαλύτερο από 22.

Περί πηγής

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Διέγραψα την λύση, λόγω λάθους στην φορά μιας ανισότητας.

#3

Δημήτρη, κάπου πρέπει να υπάρχει λάθος. Ο wolfram λέει ότι η περίμετρος είναι περίπου 22.1035 ενώ εσύ βγάζεις μεγαλύτερη του 28.

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Θα κάνω μια προσπάθεια :

Φέρνω την διχοτόμο της ορθής γωνίας του πρώτου τεταρτημορίου, που τέμνει την χορδή της έλλειψης στο σημείο (το είναι το σημείο όπου η έλλειψη τέμνει τον άξονα των και το σημείο όπου τέμνει τον άξονα των )

Έστω επίσης ότι η παραπάνω διχοτόμος, τέμνει την έλλειψη στο .

Aν ονομάσουμε το τόξο της έλλειψης που ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο, θα έχουμε:

, $\rightarrow$ (ΣΧΕΣΗ 1)

Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε:

$KA^{2}=OK^{2}+4^{2}-2.4.OK.\frac{\sqrt{2}}{2}\geq OP^{2}+16\Rightarrow KA\geq \sqrt{OP^2+16}$

Και ομοίως:

$KB^{2}\geq OP^{2}+9\Rightarrow KB\geq \sqrt{OP^2+9}$

Φέρνοντας από το την κάθετη πάνω στον άξονα των , θα έχουμε από τα όμοια τρίγωνα ότι

$\frac{PT}{3}= \frac{TA}{4}\Rightarrow \frac{RT}{3}=\frac{4-PT}{4}\Rightarrow PT=\frac{12}{7}$

'Αρα από το ορθογώνιο τρίγωνο βρίσκουμε ότι: $OP^{2}=\frac{288}{49}$

Mετά από τα παραπάνω, έχουμε:

$s\geq BK+KA\geq \sqrt{OP^2+9}+\sqrt{OP^2+16}\geq \sqrt{\frac{288}{49}+9}+\sqrt{\frac{288}{49}+16}\geq$

$\geq \sqrt{5+9}+\sqrt{5+16}=\sqrt{14}+\sqrt{21}\geq 3+4=7$

To όλο μήκος της έλλειψης είναι $L=4s\geq 4.7=28>22$ , οπότε δείξαμε το ζητούμενο

Χρησιμοποίησα μια πρόταση που ελπίζω να διδάσκεται ακόμα στο Λύκειο:

Κάθε κυρτή τεθλασμένη γραμμή είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε άλλη κυρτή γραμμή που την περιβάλλει και έχει τα ίδια με αυτήν άκρα

Δημήτρη, χωρίς να έχω ελέγξει τις πράξεις σου, νομίζω ότι κάπου υπάρχει λάθος. Βρίσκεις ότι το μήκος της έλλειψης είναι $\displaystyle{>28,}$ ενώ εγώ (με χρήση του Wolfram) το βρίσκω $\displaystyle{22,...}$

EDIT* Με πρόλαβε ο Demetres. Ας προσθέσω μόνο, ότι το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με το

$\displaystyle{\int_{0}^{4}\sqrt{\frac{256-7x^2}{16-x^2}}dx>22.}$

Η πραγματική τιμή του ολοκληρώματος είναι περίπου $\displaystyle{22,1035}$

#5

Θα το ελέγξω αν υπάρχει κάποια αβλεψία.
Ευχαριστώ

#6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Θα το ελέγξω αν υπάρχει κάποια αβλεψία.
Ευχαριστώ

ΠΡΑΓΜΑΤΙ ΕΚΑΝΑ ΑΠΡΟΣΕΞΙΑ ΣΕ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ (χρησιμοποίησα κάτι που δεν είναι αληθές, αό αβλεψία)

Θα δω τι μπορώ να κάνω, αλλά αύριο.

#7

Μια ενδιαφέρουσα σχετική εργασία του Δημήτρη Ντρίζου, σχ. Συμβούλου Τρικάλων βρίσκεται ΕΔΩ.

Έχει επίσης δημοσιευτεί στο περιοδικό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ, τεύχος 2, του παραρτήματος ΕΜΕ Ν. Τρικάλων το 1999 στη σελίδα 103.

Ο Δημήτρης αποδεικνύει ότι το μήκος της έλλειψης με εξίσωση την $\displaystyle \frac{{x^2 }}{{a^2 }} + \frac{{y^2 }}{{b^2 }} = 1,\;\;\;0 < b < a$

είναι: $\displaystyle L = 2a \cdot \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon ^2 \cdot \eta \mu ^2 u} \,du}$ , όπου $\varepsilon$ είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης.

Οπότε για τη συγκεκριμένη έλλειψη $\displaystyle\frac{{x^2 }}{{16}} + \frac{{y^2 }}{{9}} = 1$ αναζητάμε το (εκτός σχολικής ύλης ; ) ολοκλήρωμα: $\displaystyle L = 8 \cdot \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - \frac{7}{{16}} \cdot \eta \mu ^2 u\,} du}$

Δεν έχω διαθέσιμη σχετική βιβλιογραφία για τον υπολογισμό του Ολοκληρώματος. Θα μπορούσε κάποιος να το υπολογίσει;

#8

Πράγματι, δεν φαίνεται να υπάρχει στοιχειώδης λύση, χωρίς την χρήση ολοκληρώματος. Δεν πρόσεξα τις πράξεις, την νόμισα για εύκολη και την ΠΑΤΗΣΑ

.

#9

Γιώργο το ολοκλήρωμα που γράφεις για ευνόητους λόγους ονομάζεται ελλιπτικό ολοκλήρωμα. Εκτός από ελάχιστες εξαιρέσεις, τα ελλιπτικά (αόριστα) ολοκληρώματα δεν μπορούν να γραφτούν χρησιμοποιώντας «στοιχειώδεις συναρτήσεις». Αυτό σημαίνει πως είναι μάλλον δύσκολο να υπολογίσουμε ακριβώς το ολοκλήρωμα.

Επεξεργασία: Διόρθωση λάθους.

#10

Απλά μία υπενθύμιση των τύπων και τρόπων υπολογισμού
μήκους καμπύλης.

#11

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Πράγματι, δεν φαίνεται να υπάρχει στοιχειώδης λύση, χωρίς την χρήση ολοκληρώματος. Δεν πρόσεξα τις πράξεις, την νόμισα για εύκολη και την ΠΑΤΗΣΑ .

Δημήτρη, υπάρχει στοιχειώδης τρόπος. Το μόνο πρόβλημα είναι ότι εμπεριέχει πολλές πράξεις και δεν έχω την υπομονή να τις κάνω:

Η ιδέα είναι να κάνουμε κατάλληλη διαμέριση της έλλειψης και να προσεγγίσουμε την περιφέρειά της με εγγεγραμμένη τεθλασμένη γραμμή. Συγκεκριμένα, θέλουμε να αποδείξουμε ότι το μήκος της στο πρώτο τεταρτημόριο είναι $> \frac {22}{4}$ . Παίρνουμε τα σημεία της (0, 3), (x_1, y_1), (x_2, y_2), ... , (x_N, y_N), (4, 0)

όπου

κατάλληλα, και τα ενώνουμε με τεθλασμένη. Για κατάλληλα λεπτή διαμέριση, το μήκος της τεθλασμένης είναι όσο κοντά θέλουμε στο μήκος της καμπύλης, οπότε τελειώσαμε.

Π.χ. θα πρωτοδοκίμαζα τα σημεία $A(0,3), B(1, \frac {3\sqrt 3}{3}), C(4,0)$ και θα έβρισκα (απλό) το μήκος της ABC

. Αν η προσέγγιση δεν ήταν καλή, θα έριχνα μέσα και άλλο ένα σημείο, και ούτω καθεξής. Τώρα, επειδή το ολοκλήρωμα Riemann που δίνει το μήκος είναι όριο τέτοιας τεθλασμένης, είναι βέβαιο ότι αργά ή γρήγορα θα έβρισκα την επιθυμητή ακρίβεια, αλλά ποιος κάθεται να κάνει τις ανιαρές πράξεις...

Φιλικά,

Μιχάλης

#12

Γνωρίζουμε, μέσω στοιχειώδους ολοκληρώματος, ότι το εμβαδόν της έλλειψης $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ισούται προς $4\int_{0}^{a}{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx}=\pi ab$ . Γνωρίζουμε (;) επίσης από το Ισοπεριμετρικό Θεώρημα ότι ανάμεσα σε όλα τα ισεμβαδικά κυρτά σύνολα του επιπέδου ο κύκλος έχει την μικρότερη περίμετρο. Το εμβαδόν της δοθείσας έλλειψης ισούται προς $\pi (8/2)(6/2)=12\pi$ , και η περίμετρος του κύκλου με εμβαδόν $12\pi$ ισούται προς $2\pi \sqrt{12}$ . Αρκεί επομένως να ισχύει η ανισότητα $22>2\pi \sqrt{12}\Leftrightarrow \pi ^2<\frac{121}{12}$ , η οποία εύκολα προκύπτει από την γνωστή στον Αρχιμήδη ανισότητα $\pi <\frac{22}{7}$ .

Ανάποδος συλλογισμός και ανισότητα στο τελευταίο βήμα* -- το αφήνω, έστω και εσφαλμένο!

*αυτό που έχω όντως αποδείξει είναι ότι η περίμετρος της έλλειψης υπερβαίνει το $2\pi \sqrt{12}>21,76559$

Γιώργος Μπαλόγλου

#13

Γιώργο την ίδια ακριβώς σκέψη έκανα χθες βράδυ και εγώ. Σήμερα θυμήθηκα ένα όμορφο πρόβλημα που μας έβαλε ο Αλέξανδρος Γεωργακόπουλος που κόβει έλλειψη για να φτιάξει άλλο σχήμα με την ίδια περίμετρο αλλά μεγαλύτερο εμβαδόν, που επομένως θα δίνει καλύτερο φράγμα.

Δυστυχώς το φράγμα της άσκησης είναι $\pi(a+b) = 7\pi \approx 21.99$ .

Ευτυχώς το φράγμα της απόδειξης (δείτε την απόδειξη του Αλέξανδρου πιο κάτω) είναι $\sqrt{4\pi(\pi a b + (b-a)^2)} = 2\sqrt{12\pi^2 + \pi}$ . Αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι $12\pi^2 + \pi \geqslant 121$ . Αρκεί $\displaystyle{ \pi^2 \geqslant (121-3)/12 = 59/6.}$ Ισχύει όμως ότι 3,14^2 > 59/6

οπότε τελειώσαμε.

#14

Demetres έγραψε:Γιώργο την ίδια ακριβώς σκέψη έκανα χθες βράδυ και εγώ. Σήμερα θυμήθηκα ένα όμορφο πρόβλημα που μας έβαλε ο Αλέξανδρος Γεωργακόπουλος που κόβει έλλειψη για να φτιάξει άλλο σχήμα με την ίδια περίμετρο αλλά μεγαλύτερο εμβαδόν, που επομένως θα δίνει καλύτερο φράγμα.

Δυστυχώς το φράγμα της άσκησης είναι $\pi(a+b) = 7\pi \approx 21.99$ .

Ευτυχώς το φράγμα της απόδειξης (δείτε την απόδειξη του Αλέξανδρου πιο κάτω) είναι $\sqrt{4\pi(\pi a b + (b-a)^2)} = 2\sqrt{12\pi^2 + \pi}$ . Αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι $12\pi^2 + \pi \geqslant 121$ . Αρκεί $\displaystyle{ \pi^2 \geqslant (121-3)/12 = 59/6.}$ Ισχύει όμως ότι οπότε τελειώσαμε.

Αξιοσημείωτη η προσέγγιση των Αλέξανδρου-Δημήτρη, καθώς μας δίνει περίπου 22,0523

, ενώ η ακριβής τιμή είναι περίπου 22,1035

.

Γιώργος Μπαλόγλου

#15

gbaloglou έγραψε:*αυτό που έχω όντως αποδείξει είναι ότι η περίμετρος της έλλειψης υπερβαίνει το $2\pi \sqrt{12}>21,76559$

Ας σημειωθεί εδώ ότι αν αντικαταστήσουμε την έλλειψη με τεθλασμένη γραμμή που περνάει από τα σημεία τομής της με τους άξονες και ακριβώς ένα σημείο σε κάθε ένα από τα τέσσερα τόξα της, το μέγιστο μήκος που μπορεί να προκύψει είναι περίπου 21,5584

: αυτό φαίνεται αν εκφράσουμε την έλλειψη $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ παραμετρικά ως $(4cos\theta , 3sin\theta )$ , οπότε η συνάρτηση μήκος της τεθλασμένης γραμμής στο πρώτο τεταρτημόριο, $(0, 3) - (4cos\theta , 3sin\theta ) - (4, 0)$ , είναι η $\sqrt{16cos^2\theta +(3-3sin\theta )^2}+\sqrt{(4-4cos\theta )^2+9sin^2\theta }$ με μέγιστο, στο $(0, \pi /2)$ , περίπου 5,3896

.

Γιώργος Μπαλόγλου

#16

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Οπότε για τη συγκεκριμένη έλλειψη $\displaystyle\frac{{x^2 }}{{16}} + \frac{{y^2 }}{{9}} = 1$ αναζητάμε το (εκτός σχολικής ύλης ; ) ολοκλήρωμα: $\displaystyle L = 8 \cdot \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - \frac{7}{{16}} \cdot \eta \mu ^2 u\,} du}$

Το Wolfram Alpha δίνει $\displaystyle L = 8 \cdot \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - \frac{7}{{16}} \cdot \eta \mu ^2 u\,} du} \cong 22,104$

giorikasss · #17

Ποια είναι η απόδειξη του θεωρήματος αυτού;
'' Κάθε κυρτή τεθλασμένη γραμμή είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε άλλη κυρτή γραμμή που την περιβάλλει και έχει τα ίδια με αυτήν άκρα ''

Υπάρχει συγκεκριμένη μέθοδος λύσης τέτοιων ασκήσεων;
π.χ. Να δείξετε ότι μια κυρτή τεθλασμένη με 5 τμήματα είναι μεγαλύτερη από μία άλλη με κοινά άκρα 4 τμημάτων.

Αναστάσιος · #18

-------

#19

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Η μέθοδός σου μέχρι το σημείο

Αναστάσιος έγραψε: Σάβ Αύγ 11, 2018 8:34 pm
Άρα, τελικά, 2πβ <Lε <2πα.

είναι σωστή αλλά οδεύει με πολλή στρυφνό συμβολισμό (που δεν ορίστηκε αλλά έβγαλα άκρη)
κάνοντας τα εύκολα δύσκολα. Ειδικότερα καταλήγει με έναν μακρόσυρτο συλλογισμό στο άμεσο και οφθαλμοφανές $2\pi b < mikos\, ellipsis < 2\pi a$ .

Tα προβλήματα είναι αλλού.

Πρώτον δεν είναι σωστός ο συλλογισμός που προκύπτει από το κατά προσέγγιση επιχείρημα

Αναστάσιος έγραψε: Σάβ Αύγ 11, 2018 8:34 pm Δηλαδή, Lε~(2πβ+2πα)/2~22,001....
(Εάν έχω κάνει σωστά τις πράξεις και εάν ο τρόπος σκέψης μου είναι σωστός.)

Εδώ είναι λάθος οι πράξεις αλλά ακόμα και αν ήταν σωστές, ΔΕΝ έπεται το ζητούμενο (βλέπε παρακάτω). Πάντως η προσεγγιστική τιμή που δίνεις έχει πρόβλημα διότι η σωστή τιμή του $(2\pi b + 2\pi a)/2$ είναι 21,99113

και όχι

που γράφεις.

Ένας τρόπος να δεις ότι ο συλλογισμός σου είναι λάθος (πέρα από τις λάθος πράξεις) είναι ο εξής:

Πες ότι η άσκηση ζήταγε να αποδείξεις ότι η περίμετρος της έλλειψης είναι μικρότερη από 22,101

. Η μέθοδός σου θα το έδειχνε αυτό (ακόμα και αν έκανες σωστά τις πράξεις). Να όμως που το αποτέλεσμα είναι εσφαλμένο καθώς η τιμή της είναι περί το 22,1035

Μήκος έλλειψης

Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Re: Μήκος έλλειψης

Μέλη σε σύνδεση