Τριχοτομία και μέγιστη γωνία

#1

: Τριχοτομία και μέγιστη γωνία.png (7.4 KiB) Προβλήθηκε 1113 φορές

Τα σημεία

τριχοτομούν την πλευρά AB=a

τετραγώνου ABCD

και

είναι ένα σημείο της πλευράς AD.

α) Να βρείτε (χωρίς τη χρήση παραγώγων) τη θέση του σημείου

που μεγιστοποιεί τη γωνία $\widehat{KML}.$

β) Για αυτή τη θέση του

να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου, αν γνωρίζετε ότι το μήκος του τμήματος

ισούται

αριθμητικά με το εμβαδόν του τριγώνου KLM.

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε:Τριχοτομία και μέγιστη γωνία.png
Τα σημεία τριχοτομούν την πλευρά τετραγώνου και είναι ένα σημείο της πλευράς

α) Να βρείτε (χωρίς τη χρήση παραγώγων) τη θέση του σημείου που μεγιστοποιεί τη γωνία $\widehat{KML}.$

β) Για αυτή τη θέση του να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου, αν γνωρίζετε ότι το μήκος του τμήματος ισούται

αριθμητικά με το εμβαδόν του τριγώνου

Γειά σου Γιώργο

α. Θεωρώ τις γωνίες $\hat{AML}=\omega ,\hat{AMK}=\phi ,\vartheta =\omega -\phi \Rightarrow tan\vartheta =tan(\omega -\phi )=\dfrac{3ax}{9x^{2}+2a^{2}}=y,(1),x=AM, (1)\Leftrightarrow 9yx^{2}-3ax+2a^{2}y=0, \Delta \geq 0\Leftrightarrow 0\leq y\leq \dfrac{\sqrt{2}}{4}$
Αρα το μέγιστο της γωνίας επιτυγχάνεται για

$y=\dfrac{\sqrt{2}}{4},x=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}, b. AM=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}=\dfrac{a^{2}\sqrt{2}}{18}\Leftrightarrow a=6$

Γιάννης

#3

george visvikis έγραψε:Τριχοτομία και μέγιστη γωνία.png
Τα σημεία τριχοτομούν την πλευρά τετραγώνου και είναι ένα σημείο της πλευράς

α) Να βρείτε (χωρίς τη χρήση παραγώγων) τη θέση του σημείου που μεγιστοποιεί τη γωνία $\widehat{KML}.$

β) Για αυτή τη θέση του να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου, αν γνωρίζετε ότι το μήκος του τμήματος ισούται

αριθμητικά με το εμβαδόν του τριγώνου

Καλησπέρα σε όλους .

Αρκεί να γράψουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα K,L

κι εφάπτεται (στο

) της

. Απολλώνια κατασκευή ( Σ. Σ. Ε.).

Για κάθε άλλη θέση , έστω

σημείου στην

θα είναι : $\widehat \theta = \widehat \omega > \widehat \phi$ .

: τριχοτομία και μέγιστη γωνία.png (21.26 KiB) Προβλήθηκε 1086 φορές

Επειδή τώρα $AM = (KLM) \Rightarrow AM = \dfrac{1}{6}a \cdot AM \Rightarrow \boxed{a = 6}$ .

Να σημειώσουμε ότι τότε $\boxed{AM = 2\sqrt 2 }$ .

Φιλικά Νίκος

ealexiou · #4

Καλησπέρα!

: Τριχοτομία και μέγιστη γωνία.png (77.74 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

Με γεωμετρία...
α) Προφανώς η θέση του

όπου έχουμε την μέγιστη $\angle KML$ είναι το σημείο επαφής του κύκλου, που διέρχεται από τα σημεία K,L

και εφάπτεται των πλευρών του τετραγώνου AD,BC

, με την πλευρά

, οπότε:
$AM^2=AK\cdot AL=\dfrac{a}{3}\cdot \dfrac{2a}{3}\Rightarrow \boxed{AM=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}}$

KARKAR · #5

Για το δημοφιλέστατο αυτό θέμα , έχω κάνει τουλάχιστον 4 αναρτήσεις , βλέπε μία π.χ. εδώ

Τριχοτομία και μέγιστη γωνία

Τριχοτομία και μέγιστη γωνία

Re: Τριχοτομία και μέγιστη γωνία

Re: Τριχοτομία και μέγιστη γωνία

Re: Τριχοτομία και μέγιστη γωνία

Re: Τριχοτομία και μέγιστη γωνία

Μέλη σε σύνδεση