Εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

[prwtonio]

Καλημέρα και καλή σχολική χρονιά. Στο βιβλίο των μαθηματικών κατεύθυνσης της Β λυκείου, αναφέρει: Γνωρίζουμε ότι το έργο που παράγεται από μια δύναμη όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της από το στο είναι ίσο με το γινόμενο . Το γινόμενο αυτό συμβολίζεται με
και λέγεται εσωτερικό γινόμενο της δύναμης με το διάνυσμα . Γενικότερα, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό, κλπ.
Η ερώτησή μου είναι η εξής: Ποια ήταν πραγματικά η ανάγκη να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων με αυτόν τον τρόπο; Το γεγονός ότι στην φυσική για παράδειγμα βρίσκουμε το έργο σταθερής δύναμης από το γινόμενο ; Για ποιόν λόγο θα πρέπει το γινόμενο δύο διανυσμάτων να προκύπτει αριθμός; Ποια είναι η μαθηματική του θεμελίωση; Η ίδια απορία και για το εξωτερικό γινόμενο.

[gbaloglou]

Σχετική συζήτηση εδώ.

[nickthegreek]

Για ποιόν λόγο θα πρέπει το γινόμενο δύο διανυσμάτων να προκύπτει αριθμός; Ποια είναι η μαθηματική του θεμελίωση; Η ίδια απορία και για το εξωτερικό γινόμενο.

Ο σύνδεσμος περιέχει μια πολύ καλή απάντηση στην ερώτησή σου, η οποία αντλεί από την ιστορική ανάπτυξη του θέματος. Προσωπικά θα δώσω και μια ακόμη άποψη από τη σκοπιά της μαθηματικής θεμελίωσης. Δεν είναι καθόλου τυχαίο που το γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι αριθμός. Και οι δύο έννοιες είναι διαφορετικές όψεις του ίδιου νομίσματος...του τανυστή.

Οι τανυστές χρησιμοποιούνται αρκετά στη σύγχρονη γεωμετρία και έχουν την έννοια του βαθμού ή της τάξης. Συγκεκριμένα, ένα διάνυσμα είναι τανυστής βαθμού , ενώ τα λεγόμενα scalars (οι σταθεροί αριθμοί) είναι τανυστές βαθμού .

Όσον αφορά την πράξη του εσωτερικού γινομένου, σε αυτή τη γενικότερη γλώσσα των τανυστών, καλείται επίσης και contraction. Κάποιες λεπτομέρειες υπάρχουν εδώ:

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_contraction

Συγκεκριμένα, το contraction δύο τανυστών τάξης 1 είναι τανυστής τάξης 0 ! Γι' αυτό και το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι αριθμός!

'Ενα σχετικό βιντεάκι υπάρχει εδώ:

https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw

Ελπίζω αυτά να βοήθησαν!

Φιλικά,
Νίκος

[AlexandrosG]

Το βίντεο που παραθέτει ο Νίκος είναι πολύ ενδιαφέρον και από διδακτικής πλευράς.

Μου έκανε εντύπωση πόσο χρήσιμα μπορούν να είναι τα αντικείμενα για τη διδασκαλία των μαθηματικών.

Παρεπιμπτόντως, έχω εδώ και καιρό παρατηρήσει πόσο χρήσιμα είναι τα gif στη διδασκαλία. Δύο παραδείγματα:

http://img-9gag-fun.9cache.com/photo/aG9b4Zn_460sv.mp4

http://img-9gag-fun.9cache.com/photo/aOqPoMD_460sv.mp4

Ένα gif, χίλιες λέξεις!

[grigkost]

..Η ερώτησή μου είναι η εξής: Ποια ήταν πραγματικά η ανάγκη να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων με αυτόν τον τρόπο;

Ας επιστρέψουμε στην ερώτηση: "Ποια ήταν πραγματικά η ανάγκη να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων με αυτόν τον τρόπο;"

Θα προσπαθήσω να δώσω μιαν αιτιολόγηση χωρίς μαθηματική αυστηρότητα: Ας υποθέσουμε ότι πάνω σε μια επιφάνεια κατά μήκος της "κίτρινης" καμπύλης κινείται ένα σωματίδιο με μια σταθερή ταχύτητα (η οποία παριστάνεται με ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη με αρχή το σημείο και σταθερό μέτρο ). Πάνω στο σωματίδιο ασκείται μια επίσης σταθερή δύναμη με σταθερή διεύθυνση (η οποία παριστάνεται με ένα διάνυσμα που έχει σταθερή διεύθυνση, αρχή το σημείο και σταθερό μέτρο ).
[attachment=0]work.png[/attachment] Θέλουμε με κάποιον τρόπο να "μετρήσουμε" την "επίδραση" που έχει η δύναμη στην κίνηση του σωματιδίου (ότι και να σημαίνει αυτή η "επίδραση", η δύναμη επιδρά στο σωματίδιο που κινείται. Το επιταχύνει, το επιβραδύνει, κ.λ.π.). Αλλά με ποιόν τρόπο θα μπορούσαμε να συσχετίσουμε τα δυο διανύσματα, ώστε οι συγκεκριμένες ιδιότητές τους να μην "χαθούν" ;
Παρατηρούμε ότι τα μέτρα της ταχύτητας και της δύναμης παραμένουν σταθερά, το ίδιο και η διεύθυνση της δύναμης. Αυτό που αλλάζει είναι η διεύθυνση της ταχύτητας. Δηλαδή αυτό που αλλάζει είναι η γωνία των δυο διανυσμάτων. Μάλιστα αν χρησιμοποιήσουμε το συνημίτονο της γωνίας μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι αν η δύναμη είναι κάθετη στο διάνυσμα της ταχύτητας, τότε δεν έχει καθόλου "επίδραση" στο σημείο. Αυτό συμφωνεί με το ή . Αν η δύναμη είναι ομόρροπη με το διάνυσμα της ταχύτητας, τότε έχουμε την μεγαλύτερη "επίδραση" στο σημείο. Αυτό συμφωνεί με το ή (που είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το ). Επίσης, αν η δύναμη είναι αντίρροπη με το διάνυσμα της ταχύτητας, τότε έχουμε μια αρνητική "επίδραση" στο σημείο. Αυτό συμφωνεί με το ή (που είναι η μικρότερη -και μάλιστα αρνητική- τιμή που μπορεί να πάρει το ).

Αν επαναλάβουμε την ίδια διερεύνηση αλλά αυτήν την φορά, κρατώντας σταθερή την ταχύτητα, την διεύθυνση της δύναμης, αλλά όχι και το μέτρο της, θα παρατηρήσουμε ότι αυτό παίζει ρόλο στην "επίδραση" στο σημείο. Το ίδιο, αν κρατήσουμε σταθερή την διεύθυνση και το μέτρο της δύναμης, αλλά επιτρέψουμε στο σημείο να κινείται με διαφορετικές ταχύτητες.
Διαισθητικά βλέπουμε ότι το μέγεθος περιγράφει την "επίδραση" της δύναμης πάνω στο σημείο όταν κινείται με μια ταχύτητα , περιλαμβάνοντας τα μεγέθη που διαπιστώσαμε ότι παίζουν ρόλο στην "επίδραση". Δηλαδή τα μέτρα , και η γωνία που σχηματίζουν τα δύο διανύσματα.

Προσπάθησα στα παραπάνω να αποφύγω την αυστηρότητα του μαθηματικού ορισμού (κάτι όχι χωρίς κινδύνους), ελπίζοντας ότι διαφωτίζω την έννοια του εσωτερικού γινομένου μέσα από ένα παράδειγμα.