Αναζήτηση δεκαδικών ψηφίων

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε τα πρώτα 2016 ψηφία, μετά την υποδιαστολή, της δεκαδικής αναπαράσταση του αριθμού

$(\sqrt{26} + 5)^{2016}$ .

#2

Al.Koutsouridis έγραψε:Να βρείτε τα πρώτα 2016 ψηφία, μετά την υποδιαστολή, της δεκαδικής αναπαράσταση του αριθμού

$(\sqrt{26} + 5)^{2016}$ .

Απάντηση στο ενδιαφέρον αυτό ερώτημα: Και τα 2016

ψηφία είναι εννιάρια.

Από το ανάπτυγμα του διωνύμου εύκολα βλέπουμε ότι ο αριθμός $(\sqrt{26} + 5)^{2016} +(\sqrt{26} - 5)^{2016}$ είναι ακέραιος. Πράγματι α) οι συντελεστές στο ανάπτυγμα $(a\pm b)^n$ είναι ακέραιοι και β) οι μεν άρτιες δυνάμεις του $\sqrt 26$ είναι ακέραιες οι δε περιττές απλοποιούνται ανά ζεύγη ως αντίθετοι αριθμοί. Στον ισολογισμό μένει μόνο ένα άθροισμα ακεραίων.

Συμπεραίνουμε ότι ο $(\sqrt{26} + 5)^{2016}$ ισούται με "ακέραιο πλην $(\sqrt{26} - 5)^{2016} "$ .

Όμως

$0< \sqrt{26} - 5 < \frac {1}{10}$ οπότε $0< (\sqrt{26} - 5)^{2016} < 10^{-2016}= 0,\underbrace {00...01}_{2016}$ , από όπου το ζητούμενο.

#3

Ας βρεθεί και από πάσα εννιάρια ξεκινάει αυτός ο αριθμός. [Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής.]

#4

Το αποσύρω προσωρινά γιατί έχω λογιστικό σφάλμα στις πράξεις (η μέθοδος σωστή)

. Θα επανέλθω, αλλά υπομονή γιατί σήμερα έχω βαρύ πρόγραμμα.

Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία.

#5

Επανέρχομαι αλλά με πιο προσεκτικό έλεγχο των πράξεων.

Demetres έγραψε:Ας βρεθεί και από πάσα εννιάρια ξεκινάει αυτός ο αριθμός. [Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής.]

Καλό.

Θα δείξουμε ότι τα εννιάρια είναι 2024

(το ψηφίο στην θέση 2025

δεν είναι εννιάρι αλλά δεν ξέρω ποιο ακριβώς από τα ψηφία

έως

είναι τούτο).

Εύκολα βλέπουμε ότι $\frac {99}{1000}< \sqrt{26} - 5 < \frac {9902}{10000}$ . Για παράδειγμα το κομπιουτεράκι δείχνει $\sqrt{26} - 5 = 0,0990195$ αλλά μπορούμε και χωρίς κομπιουτεράκι να διαπιστώσουμε την ανισότητα με ύψωση στο τετράγωνο αφού πάμε το

στο άλλο μέλος.

Άρα

$\left (\frac {99}{1000} \right ) ^{2016}< (\sqrt{26} - 5)^{2016} < \left (\frac {9902}{100000} \right ) ^{2016}$

Θα δείξουμε ότι

$10^{-2025} < \left (\frac {99}{1000} \right ) ^{2016}< \left (\frac {9902}{100000} \right ) ^{2016} < 10^{-2024} \, (*)$

οπότε σε συνδυασμό την εκτίμηση στο προηγούμενο ποστ έχουμε, για κάποιον φυσικό

,

$N - 10 ^{-2024}< (\sqrt{26} + 5)^{2016} < N -10^{-2025}$

από όπου το ζητούμενο.

Μένει να δείξουμε τις (*)

οι οποίες ισοδυναμούν με

$\displaystyle { -2025 < 2016 \log _{10} \frac {99}{1000} < 2016 \log _{10} \frac {9902}{100000} < - 2024}$

Κατά το κομπιουτεράκι μου η παραπάνω αληθεύει αφού γράφεται

$\displaystyle { -2025 < -2024,799447 < -2024,622589 < -2024$ (αληθής).

Ελπίζω αυτή την φορά να μην έκανα κάπου λάθος πράξεις. Όπως και να είναι, η διαδικασία φαίνεται σωστή και εύκολα προσαρμόζεται σε πιο προσεκτικές πράξεις, αν οι παραπάνω είναι λανθασμένες.

Ας προσθέσω ότι το κομπιουτεράκι δεν είναι απαραίτητο. Για παράδειγμα για τον λογάριθμο του $99= 3^2\cdot 11$ που εμφανίζεται, μας χρειάζονται μόνον τα $\log 3, \, \log 11$ . Αυτά μπορούν να γίνουν με το χέρι, με πολύ μεγάλη ακρίβεια. Σύντομα θα αναρτήσω ένα άρθρο μου του 1988

(... σωστά διαβάσατε...) που είχα δημοσιεύσει στον Ευκλείδη Γ' , όπου περιέχει ιστορία ωραιότατων μεθόδων υπολογισμού λογαρίθμων μικρών ακεραίων.

Φιλικά,

Μιχάλης

#6

Σωστά.

Αν θέλουμε να βρούμε και επόμενα ψηφία πάλι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε λογαρίθμους. Π.χ. η υπολογιστική μου, μου λέει ότι

$\displaystyle{ 2016\log_{10}(\sqrt{26}-5) = -2024.62689\ldots}$

Μπορώ λοιπόν να χρησιμοποιήσω ότι $\displaystyle{ 2016\log_{10}(\sqrt{26}-5) \in [-2024.63,-2024.62]\ldots}$ για να πάρω

$\displaystyle{ (\sqrt{26}-5)^{2016} \in \left( \frac{10^{-0.63}}{10^{2024}},\frac{10^{-0.63}}{10^{2024}} \right) \subseteq \left( \frac{0.23442}{10^{2014}},\frac{0.23988}{10^{2014}}\right)}$

Οπότε μετά τα 2014

εννιάρια το επόμενο ψηφίο είναι

και το μεθεπόμενο

. Το επόμενο είναι μεταξύ του

με του

και μπορεί να υπολογιστεί με τον ίδιο τρόπο.

Al.Koutsouridis · #7

Ευχαριστώ τους κ.Λάμπρου και Δημήτρη για την λύση και τις γενικεύσεις. Για την ιστορία να αναφέρω ότι το πρόβλημα είναι από την Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης(1963). Στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι περιττός μπορούμε να εραγστούμε με παρόμοιο τρόπο και να δείξουμε οτι τα πρώτα ψηφία μετα την υποδιαστολή είναι μηδενικά.

Αναζήτηση δεκαδικών ψηφίων

Αναζήτηση δεκαδικών ψηφίων

Re: Αναζήτηση δεκαδικών ψηφίων

Re: Αναζήτηση δεκαδικών ψηφίων

Re: Αναζήτηση δεκαδικών ψηφίων

Re: Αναζήτηση δεκαδικών ψηφίων

Re: Αναζήτηση δεκαδικών ψηφίων

Re: Αναζήτηση δεκαδικών ψηφίων

Μέλη σε σύνδεση