Ολικό Ελάχιστο

tsolis · #1

Δίνεται η $f(x)=(g(x)-x)^{2}+4$ για κάθε πραγματικό αριθμό.
Αν ισχύει g(1)<1 και g(2)>2 και η g συνεχής στο R.
Να αποδείξεται ότι η f έχει ολικό ελάχιστο.

#2

Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση h με h(x)=g(x)-x, x στο [1,2] ,μπορούμε, αφού η h είναι συνεχής στο [1,2] και με τη βοήθεια των δεδομένων, να δείξουμε οτι ισχύει το Θ.Bolzano.
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένας ξ στο (1,2). ώστε: h(ξ)=0 => g(ξ)=ξ (1)
Έχουμε πως:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} f(\xi ) = 4 \\ f(x) = (g(x) - x)^2 + 4 \ge 4,\forall x \in \Re \\ \end{array} }$

Αρα:

$\displaystyle{ f(x) \ge f(\xi ),\forall x \in \Re }$
δηλαδή στο ξ η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.

manos1992 · #3

καλησπέρα! μαλλον εννοειτε h(x)=g(x)-x

στην αρχη της λυσης!

#4

Mάνο με πρόλαβες πάνω στο νήμα...Ναι φυσικά και εννοούσα αυτη που λες.Μόλις τη διόρθωσα.Ευχαριστώ!

Ολικό Ελάχιστο

Ολικό Ελάχιστο

Re: Ολικό Ελάχιστο

Re: Ολικό Ελάχιστο

Re: Ολικό Ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση