γν. μονότονη και συνεχής

Ιστοσελίδα · #1

Kαλησπέρα στην παρέα του mathematica
Ας διαπραγματευτούμε την παρακάτω άσκηση

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\Re \to \Re }$ η οποία είναι συνεχής , γνησίως μονότονη και τέτοια ώστε:
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} = 5 }$ και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - 2}}{{x - 1}} = 2 }$

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα
β. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα αριθμός $\displaystyle{ x_o \in (1,3) }$ τέτοιος ώστε
$\displaystyle{ 2f(x_o ) = f(2) + f(e) }$
γ. Να δείξετε ότι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 2f(x - 2)}}{{x - 3}} = 1 }$
δ. Αν η γραφική παράσταση $\displaystyle{C}$ της συνάρτησης $\displaystyle{f}$
τέμνει τον άξονα $\displaystyle{xx'}$ στο $\displaystyle{ x_o = - 1 }$ τότε:
i) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{ f( - 2x + 3) = - f(4x - 9) }$
ii) Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{ f( - 2e^x + 3) + f(4e^x - 9) < 0 }$

#2

Σπύρο ωραία άσκηση.
Θα την κάνω σιγά-σιγά, με το καφεδάκι!

α)Θέτω
$\displaystyle{ g(x) = \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} \Rightarrow f(x) = \left( {x - 3} \right)g(x) + 4 }$
Είναι προφανές ότι:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x) = 5 }$
Κοντά στο

ισχύει:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [\left( {x - 3} \right)g(x) + 4] = 4 }$
και επειδή η

συνεχής παντού,έχω:
f(3)=4

Με ακριβώς όμοιο σκεπτικό, εργάζομαι και στο άλλο όριο και καταλήγω:
f(1)=2

Αφού η

είναι γνησίως μονότονη τότε αυτή θα είναι ή γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα.
Έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα.
Τότε $\displaystyle{ 1 < 3 \Rightarrow f(1) > f(3) \Rightarrow 2 > 4 }$ άτοπο.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα.

#3

β) Η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [1,3]

.Αρα το σύνολο τιμών της είναι το [f(1),f(3)]

δηλαδή το

.
Όμως:
$\displaystyle{ {\rm{1 < 2 < 3 }} \Rightarrow f{\rm{(1) < f(2) < f(3) }} \Rightarrow {\rm{2 < f(2) < 4}} }$ και όμοια 2<f(e)<4

( αφού

). Αν προσθέσουμε κατα μέλη τις δύο ανισότητες θα πάρουμε:
$\displaystyle{ 2 < \frac{{f(2) + f(e)}}{2} < 4 }$
Αρα το $\displaystyle{ \frac{{f(2) + f(e)}}{2} \in [2,4] }$
συνεπώς θα υπάρχει

στο

ώστε: $\displaystyle{ f(x_0 ) = \frac{{f(2) + f(e)}}{2} \Leftrightarrow 2f(x_0 ) = f(2) + f(e) }$
(λόγω συνεχειας της

) . To

αυτό είναι μοναδικό, γιατί η

είναι γνησίως αύξουσα.

ZITAVITA · #4

Αλλιώσ για το α
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (f(x) - 4) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 4 }$
και επειδή είναι συνεχής $\displaystyle{ f(3) = 4 }$
Ομοίως $\displaystyle{ f(1) = 2 }$
Για τογ $\displaystyle{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 2f(x - 2)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 4 - 2f(x - 2) + 4}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x - 2) - 2}}{{x - 3}}\mathop = \limits^{u = x - 2} \\ 5 - 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(u) - 2}}{{x - 3}} = 5 - 4 = 1 \\ \end{array} }$

ZITAVITA · #5

Για το δ ι
Θέτω $\displaystyle{ u = - 2x + 3 \Rightarrow x = \frac{{3 - u}}{2} }$
Άρα $\displaystyle{ f(u) = - f( - 3 - 2u) }$
Επίσης θέτω $\displaystyle{ u = 4x - 9 \Rightarrow x = \frac{{u + 9}}{4} }$
Άρα $\displaystyle{ f(u) = - f(\frac{{ - u - 3}}{2}) }$
Οπότε $\displaystyle{ f( - 3 - 2u) = f(\frac{{ - u - 3}}{2})\mathop \Rightarrow \limits^{1 - 1} - 3 - 2u = \frac{{ - u - 3}}{2} \Rightarrow u = - 1 }$

#6

γ)Για το όριο έχουμε:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - 2f(x - 2)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {\frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} - 2\frac{{f(x - 2) - 2}}{{x - 3}}} \right] }$
(1)

Όμως:
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left[ {\frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}}} \right] = 5 \wedge \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x - 2) - 2}}{{x - 3}}\mathop = \limits_{u - > 1}^{u = x - 2} \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{{f(u) - 2}}{{u - 1}} = 2 }$
Αρα $\displaystyle{ (1) \Rightarrow 5 - 4 = 1 }$

ZITAVITA · #7

Για το δ ιι
Θέτω $\displaystyle{ g(x) = f( - 2x + 3) + f(4x - 9) }$
με $\displaystyle{ g(2) = 2f( - 1) = 0 }$
Άρα έχω την $\displaystyle{ g(e^x ) \prec 0 \Rightarrow g(e^x ) \prec g(2)\mathop \Rightarrow \limits^{g \uparrow } e^x \prec 2 \Rightarrow x \prec \ln 2 }$

margk · #8

Φίλε ZITAVITA , γιατί η συνάρτηση

είναι γν. αύξουσα ;

parmenides51 · #9

margk έγραψε:Φίλε ZITAVITA , γιατί η συνάρτηση g είναι γν. αύξουσα ;

Την ίδια απορία έχω και εγώ

Γιαννακάκης Αντώνης · #10

chris_gatos έγραψε:Σπύρο ωραία άσκηση.
Θα την κάνω σιγά-σιγά, με το καφεδάκι!

α)Θέτω
$\displaystyle{ g(x) = \frac{{f(x) - 4}}{{x - 3}} \Rightarrow f(x) = \left( {x - 3} \right)g(x) + 4 }$
Είναι προφανές ότι:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x) = 5 }$
Κοντά στο ισχύει:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} [\left( {x - 3} \right)g(x) + 4] = 4 }$
και επειδή η συνεχής παντού,έχω:

Με ακριβώς όμοιο σκεπτικό, εργάζομαι και στο άλλο όριο και καταλήγω:

Αφού η είναι γνησίως μονότονη τότε αυτή θα είναι ή γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα.
Έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα.
Τότε $\displaystyle{ 1 < 3 \Rightarrow f(1) > f(3) \Rightarrow 2 > 4 }$ άτοπο.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα.

Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;

parmenides51 · #11

Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;

Ας το δούμε γενικά.
Το όριο του κλάσματος είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο του παρανομαστή είναι μηδέν.
Αν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο είτε είναι πραγματικός αριθμός.
Αν το όριο του αριθμητή είναι πραγματικός αλλά όχι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή είναι άπειρο τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή δεν υπάρχει τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι πραγματικός αριθμός το όριο του κλάσματος είναι όταν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν.

Το πρόβλημα είναι πως οι δυο τελευταίες περιπτώσεις δεν είναι προφανείς ούτε το σχολικό αναφέρει κάτι το σχετικό.
Οπότε για σιγουριά, για να μην ψάχνουμε αιτιολογήσεις και να μην αναλωνόμαστε στην περιπτωσιολογία,
εφαρμόζουμε την δοκιμασμένη μέθοδο ''θέτω, λύνω, παίρνω όρια''.

edit: Βελτίωσα τις αιτιολογήσεις στις περιπτώσεις.

dennys · #12

κ.Σπυρο καλησπέρα

Δεν μας λές για το δ)1 και δ)2.

ευχαριστώ

Γιαννακάκης Αντώνης · #13

parmenides51 έγραψε:
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;
Ας το δούμε γενικά.
Το όριο του κλάσματος είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο του παρανομαστή είναι μηδέν.
Αν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο είτε είναι πραγματικός αριθμός.
Αν το όριο του αριθμητή είναι πραγματικός αλλά όχι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή είναι άπειρο τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή δεν υπάρχει τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι πραγματικός αριθμός το όριο του κλάσματος είναι όταν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν.

Το πρόβλημα είναι πως οι δυο τελευταίες περιπτώσεις δεν είναι προφανείς ούτε το σχολικό αναφέρει κάτι το σχετικό.
Οπότε για σιγουριά, για να μην ψάχνουμε αιτιολογήσεις και να μην αναλωνόμαστε στην περιπτωσιολογία,
εφαρμόζουμε την δοκιμασμένη μέθοδο ''θέτω, λύνω, παίρνω όρια''.

edit: Βελτίωσα τις αιτιολογήσεις στις περιπτώσεις.

Το 0/0 το εκμεταλλευόμαστε δηλαδή μόνο αν μπορούμε να συνεχίσουμε να λύνουμε μέχρι να βρούμε χειροπιαστό όριο (στην περίπτωση παραμέτρων πχ).

pastavr · #14

Τελικά τα δύο τελευταία ερωτήματα λύνονται ή υπάρχει κάπου λάθος ; Καλό θα ήταν ο Σπύρος να δώσει μία απάντηση

γν. μονότονη και συνεχής

γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Re: γν. μονότονη και συνεχής

Μέλη σε σύνδεση