γν. μονότονη και συνεχής
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
- Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2338
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
γν. μονότονη και συνεχής
Kαλησπέρα στην παρέα του mathematica
Ας διαπραγματευτούμε την παρακάτω άσκηση
Έστω συνάρτηση η οποία είναι συνεχής , γνησίως μονότονη και τέτοια ώστε:
και
α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα
β. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα αριθμός τέτοιος ώστε
γ. Να δείξετε ότι
δ. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης
τέμνει τον άξονα στο τότε:
i) Να λύσετε την εξίσωση
ii) Να λύσετε την ανίσωση
Ας διαπραγματευτούμε την παρακάτω άσκηση
Έστω συνάρτηση η οποία είναι συνεχής , γνησίως μονότονη και τέτοια ώστε:
και
α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα
β. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα αριθμός τέτοιος ώστε
γ. Να δείξετε ότι
δ. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης
τέμνει τον άξονα στο τότε:
i) Να λύσετε την εξίσωση
ii) Να λύσετε την ανίσωση
τελευταία επεξεργασία από Καρδαμίτσης Σπύρος σε Δευ Οκτ 24, 2011 9:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Καρδαμίτσης Σπύρος
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: γν. μονότονη και συνεχής
Σπύρο ωραία άσκηση.
Θα την κάνω σιγά-σιγά, με το καφεδάκι!
α)Θέτω
Είναι προφανές ότι:
Κοντά στο ισχύει:
και επειδή η συνεχής παντού,έχω:
Με ακριβώς όμοιο σκεπτικό, εργάζομαι και στο άλλο όριο και καταλήγω:
Αφού η είναι γνησίως μονότονη τότε αυτή θα είναι ή γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα.
Έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα.
Τότε άτοπο.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα.
Θα την κάνω σιγά-σιγά, με το καφεδάκι!
α)Θέτω
Είναι προφανές ότι:
Κοντά στο ισχύει:
και επειδή η συνεχής παντού,έχω:
Με ακριβώς όμοιο σκεπτικό, εργάζομαι και στο άλλο όριο και καταλήγω:
Αφού η είναι γνησίως μονότονη τότε αυτή θα είναι ή γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα.
Έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα.
Τότε άτοπο.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Δευ Οκτ 24, 2011 10:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Κυριαζής
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: γν. μονότονη και συνεχής
β) Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο .Αρα το σύνολο τιμών της είναι το δηλαδή το
.
Όμως:
και όμοια ( αφού ). Αν προσθέσουμε κατα μέλη τις δύο ανισότητες θα πάρουμε:
Αρα το
συνεπώς θα υπάρχει στο ώστε:
(λόγω συνεχειας της ) . To αυτό είναι μοναδικό, γιατί η είναι γνησίως αύξουσα.
.
Όμως:
και όμοια ( αφού ). Αν προσθέσουμε κατα μέλη τις δύο ανισότητες θα πάρουμε:
Αρα το
συνεπώς θα υπάρχει στο ώστε:
(λόγω συνεχειας της ) . To αυτό είναι μοναδικό, γιατί η είναι γνησίως αύξουσα.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Δευ Οκτ 24, 2011 10:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Κυριαζής
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: γν. μονότονη και συνεχής
γ)Για το όριο έχουμε:
Όμως:
Αρα
Όμως:
Αρα
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Δευ Οκτ 24, 2011 10:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Κυριαζής
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: γν. μονότονη και συνεχής
Την ίδια απορία έχω και εγώmargk έγραψε:Φίλε ZITAVITA , γιατί η συνάρτηση g είναι γν. αύξουσα ;
-
- Δημοσιεύσεις: 30
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 7:42 pm
Re: γν. μονότονη και συνεχής
Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;chris_gatos έγραψε:Σπύρο ωραία άσκηση.
Θα την κάνω σιγά-σιγά, με το καφεδάκι!
α)Θέτω
Είναι προφανές ότι:
Κοντά στο ισχύει:
και επειδή η συνεχής παντού,έχω:
Με ακριβώς όμοιο σκεπτικό, εργάζομαι και στο άλλο όριο και καταλήγω:
Αφού η είναι γνησίως μονότονη τότε αυτή θα είναι ή γνησίως φθίνουσα ή γνησίως αύξουσα.
Έστω πως είναι γνησίως φθίνουσα.
Τότε άτοπο.
Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: γν. μονότονη και συνεχής
Ας το δούμε γενικά.Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;
Το όριο του κλάσματος είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο του παρανομαστή είναι μηδέν.
Αν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο είτε είναι πραγματικός αριθμός.
Αν το όριο του αριθμητή είναι πραγματικός αλλά όχι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή είναι άπειρο τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή δεν υπάρχει τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι πραγματικός αριθμός το όριο του κλάσματος είναι όταν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν.
Το πρόβλημα είναι πως οι δυο τελευταίες περιπτώσεις δεν είναι προφανείς ούτε το σχολικό αναφέρει κάτι το σχετικό.
Οπότε για σιγουριά, για να μην ψάχνουμε αιτιολογήσεις και να μην αναλωνόμαστε στην περιπτωσιολογία,
εφαρμόζουμε την δοκιμασμένη μέθοδο ''θέτω, λύνω, παίρνω όρια''.
edit: Βελτίωσα τις αιτιολογήσεις στις περιπτώσεις.
Re: γν. μονότονη και συνεχής
κ.Σπυρο καλησπέρα
Δεν μας λές για το δ)1 και δ)2.
ευχαριστώ
Δεν μας λές για το δ)1 και δ)2.
ευχαριστώ
Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
-
- Δημοσιεύσεις: 30
- Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 7:42 pm
Re: γν. μονότονη και συνεχής
Το 0/0 το εκμεταλλευόμαστε δηλαδή μόνο αν μπορούμε να συνεχίσουμε να λύνουμε μέχρι να βρούμε χειροπιαστό όριο (στην περίπτωση παραμέτρων πχ).parmenides51 έγραψε:Ας το δούμε γενικά.Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Σχετικά με αυτό το ερώτημα δεν μπορούμε να πούμε ότι αφού έχουμε μορφή 0/0 και το όριο του αριθμητή να είναι μηδέν; Ή αυτό το κάνουμε μόνο όταν έχουμε παράμετρο που μετά μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι για την δεδομένη τιμή της παραμέτρου είναι πράγματι πραγματικός αριθμός;
Το όριο του κλάσματος είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο του παρανομαστή είναι μηδέν.
Αν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο είτε είναι πραγματικός αριθμός.
Αν το όριο του αριθμητή είναι πραγματικός αλλά όχι μηδέν τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή είναι άπειρο τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Αν το όριο του αριθμητή δεν υπάρχει τότε το όριο του κλάσματος είτε δεν υπάρχει είτε είναι άπειρο.
Άρα η μόνη περίπτωση να είναι πραγματικός αριθμός το όριο του κλάσματος είναι όταν το όριο του αριθμητή είναι μηδέν.
Το πρόβλημα είναι πως οι δυο τελευταίες περιπτώσεις δεν είναι προφανείς ούτε το σχολικό αναφέρει κάτι το σχετικό.
Οπότε για σιγουριά, για να μην ψάχνουμε αιτιολογήσεις και να μην αναλωνόμαστε στην περιπτωσιολογία,
εφαρμόζουμε την δοκιμασμένη μέθοδο ''θέτω, λύνω, παίρνω όρια''.
edit: Βελτίωσα τις αιτιολογήσεις στις περιπτώσεις.
Re: γν. μονότονη και συνεχής
Τελικά τα δύο τελευταία ερωτήματα λύνονται ή υπάρχει κάπου λάθος ; Καλό θα ήταν ο Σπύρος να δώσει μία απάντηση
Παύλος Σταυρόπουλος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες