Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2015

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x))(x-f(y))+2xy=f(x)f(x+y) ,

για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .

raf616 · #2

Καλημέρα! Μία προσπάθεια:

Έστω P(x,y)

ο ισχυρισμός. Η συνάρτηση δεν είναι η μηδενική και επομένως υπάρχει

τέτοιο ώστε $f(a) \neq 0$ .

$P(0,a) \implies -f(f(0))f(a) = f(0)f(a) \implies f^2(f(0)) = f^2(0)$ .

$P(f(0), 0) \implies 0 = f^2(f(0)) \iff f(0) = 0$ .

Αν τώρα είναι f(k) = 0

τότε $P(k,1) \implies 2k = 0 \iff k=0$ . Επομένως $f(x)=0 \iff x=0$ .

$P(x,0) \implies xf(f(x))=f^2(x) \iff f(f(x)) = \dfrac{f^2(x)}{x}, \forall x \neq 0, (1)}$ .

Παρακάτω θεωρούμε $x \neq 0$ .

$\displaystyle{P(f(x),x) \implies 2xf(x) = f(f(x))f(x+f(x)) \iff 2x^2f(x) = f^2(x)f(x+f(x)) \iff$

$f(x)f(x+f(x)) = 2x^2, \forall x \neq 0, (2)}$ .

Λόγω τώρα των (1), (2)

έχουμε:

$\displaystyle{P(x, f(x)) \implies xf(f(x)) - f^2(f(x)) + 2xf(x) = f(x)f(x+f(x)) \iff$

$\displaystyle{f^2(x) - \dfrac{f^4(x)}{x^2} + 2xf(x) = 2x^2 \iff ... \iff (f(x)-x)^2(f^2(x)+2xf(x)+2x^2) = 0.}$

Όμως για $x\neq 0$ είναι f^2(x) + 2xf(x) + 2x^2 = (f(x)+x)^2 + x^2 > 0

και άρα $f(x)=x, \forall x \in \Bbb{R^{*}}$ .

Όμως f(0)=0

και άρα $f(x)=x, \forall x \in \Bbb{R}$ που επαληθεύει.

#3

Δείτε και:
http://artofproblemsolving.com/community/c6h1082545

Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2015

Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2015

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2015

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Κροατία 2015

Μέλη σε σύνδεση