Διαφορά τετραγώνων

#1

Οι αριθμοί

και

είναι ακέραιοι. Να δείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς a, b, a + b

μπορεί να παρασταθεί ως διαφορά τετραγώνων δύο ακεραίων.

taratoris · #2

Έστω

ένας περιττός ακέραιος. Τότε n=2x+1

για κάποιον ακέραιο

. Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε n=2x+1=(x+1)^2-x^2

.

Εαν τουλάχιστον ένας εκ των a,b,a+b

είναι περιττός, το ζητούμενο έπεται.

Διαφορετικά a,b

είναι άρτιοι. Άρα ισούνται με

ή

. Εάν και οι δύο ισούνται με

τότε το άθροισμα a+b=0

. Άρα σε κάθε περίπτωση τουλάχιστον ένας εκ των a,b,a+b

ισούται με

.

Έστω

ένας ακέραιος που ισούται με

. Τότε

για κάποιον ακέραιο

. Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε n=4x=(x+1)^2-(x-1)^2

.

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

taratoris έγραψε:
Εφόσον τουλάχιστον ένας εκ των είναι περιττός, το ζητούμενο έπεται.

Για ξανακοίταξε το.

taratoris · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
taratoris έγραψε:
Εφόσον τουλάχιστον ένας εκ των είναι περιττός, το ζητούμενο έπεται.
Για ξανακοίταξε το.

Διόρθωση πάνω. Ευχαριστώ