Πράξεις σε κελιά πίνακα

#1

Σε κάθε κελί ενός $5 \times 5$ πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός

. Σε κάθε βήμα επιλέγουμε αυθαίρετα ένα κελί και προσθέτουμε τόσο σε αυτό το κελί όσο και στα γειτονικά του τον αριθμό

. (Δύο κελιά θεωρούνται γειτονικά αν μοιράζονται κοινή πλευρά.)

Είναι δυνατόν μετά από μια ακολουθία τέτοιων κινήσεων να έχουμε σε κάθε κελί γραμμένο τον αριθμό 2012

;

Η πηγή θα αποκαλυφθεί αργότερα. [Άσκηση 9 από των Διαγωνισμό Βαλτικών Χωρών του 2012.]

Π.Απόστολος · #2

Καλησπέρα σας,

Παραθέτω μια προσπάθεια.

Αρκεί ν.δ.ο. ότι υπάρχει ακολουθία κινήσεων

τέτοια ώστε όλα τα κελιά του πίνακα να έχουν

τον αριθμό

, διότι τότε επαγωγικά

μετά από

επαναλήψεις θα έχουμε τον αριθμό

σε κάθε κελί του πίνακα και επομένως

και τον αριθμό 2012

αφού

φυσικός.Μια τέτοια ακολουθία μπορεί να είναι η

εξής:

Επιλέγουμε τα κελιά

$a_{11},a_{14},a_{41},a_{44}$ (η σειρά δεν έχει σημασία).

#3

Η λύση που δόθηκε προϋποθέτει ότι δυο κελιά είναι γειτονικά αν έχουν κοινή κορυφή. Η εκφώνηση όμως μιλά για κοινή πλευρά.

Π.Απόστολος · #4

Ζητώ συγγνώμη.Το λάθος είναι αδικαιολόγητο.

taratoris · #5

Παραθέτω μία λύση.

Ας υποθέσουμε οτι υπάρχει ακολουθία τέτοιων κινήσεων ώστε σε κάθε κελί να έχουμε γραμμένο τον αριθμό 2012

. Ορίζουμε ως πίνακα βημάτων τον 5x5

πίνακα ο οποίος σε κάθε κελί περιέχει τον αριθμό των βημάτων τα οποία έγιναν με κέντρο το συγκεκριμένο κελί. (Όταν γράφω κέντρο εννοώ οτι προστέθηκε

στο συγκεκριμένο κελί και σε όλα τα γειτονικά του). Έστω

ο πίνακας αυτός παρακάτω:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15}\\ \hline a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25}\\ \hline a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35}\\ \hline a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45}\\ \hline a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55}\\ \hline \end{array}$

Προφανώς $a_{ij}\geq 0$ ακέραιος.

Εφόσον στην θέση (1,1)

έχουμε επιρροές απο τις θέσεις (1,1),(1,2),(2,1)

συνεπάγεται οτι $a_{11}+a_{12}+ a_{21}=2012$ .

Ομοίως $a_{32}+a_{22}+ a_{31}+a_{33}+ a_{42}=2012$ κ.ο.κ.

Έστω

ο πίνακας

περιστραμμένος

μοίρες. Έστω

ο πίνακας

περιστραμμένος 180

μοίρες. Έστω

ο πίνακας

περιστραμμένος 270 μοίρες. Τότε ο πίνακας M=A+B+C+D

έχει την εξής μορφή:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a & f & c & g & a\\ \hline g & b & d &b &f\\ \hline c & d & e &d &c\\ \hline f & b & d &b &g\\ \hline a & g & c &f &a\\ \hline \end{array}$

Στον

κάθε κελί και οι γείτονές του αθροίζουν συνολικά σε 4*2012=8048

. Δηλαδή

κ.ο.κ.

Ισχύει f+a+b+c=8048=g+a+b+c

απο τις θέσεις (1,2)

και

. Άρα

. Συνεπώς ο

γράφεται:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a & f & c & f & a\\ \hline f & b & d &b &f\\ \hline c & d & e &d &c\\ \hline f & b & d &b &f\\ \hline a & f & c &f &a\\ \hline \end{array}$

Ισχύουν οι εξής εξισώσεις:

a+2f=8048

Βρίσκουμε $b=\frac{8048}{11}$ που δεν είναι ακέραιος, άτοπο. Άρα δεν υπάρχει ακολουθία κινήσεων που να δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα.

#6

Πολύ σωστά.

Είναι η άσκηση

από τον διαγωνισμό Βαλτικών χωρών του 2012

. Η λύση που δίνεται στο AOPS εδώ είναι ουσιαστικά ίδια.

Ίδια ήταν και η δική μου αλλά θέλω να την μεταφράσω και σε λύση με αναλλοίωτες.

Κοιτάζουμε τον πίνακα

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 8 & 7 & 5 & 7 & 8\\ \hline 7 & 2 & 3 &2 &7\\ \hline 5 & 3 & 10 &3 &5\\ \hline 7 & 2 & 3 &2 &7\\ \hline 8 & 7 & 5 & 7 & 8\\ \hline \end{array}$

Ο πίνακας προκύπτει ουσιαστικά από την λύση του συστήματος του Ταρατόρη.

Έστω τώρα $S = 8a_{11} + 7a_{12} + \cdots$ .

Παρατηρούμε ότι κάθε φορά που επιλέγουμε ένα κελί και προσθέτουμε τον αριθμό

σε αυτό το κελί και στα γειτονικά του τότε το

αυξάνεται κατά

.

Αρχικά έχουμε S = 0

ενώ στο τέλος (αν ήταν δυνατή η διαδικασία) θα έπρεπε να είχαμε $S = (8+7+\cdots) \cdot 2014 = 138 \cdot 2014$ . Όμως το

είναι πάντα πολλαπλάσιο του

, άτοπο.

$\rule{400pt}{0.5pt}$

Μου αρέσει να ονομάζω αυτήν την μέθοδο αναλλοίωτες με βάρη. Φτιάξαμε μια αναλλοίωτη βάζοντας διαφορετικό βάρος σε κάθε κελί. Η επιλογή των βαρών ουσιαστικά δίνεται από το πρόβλημα. Λόγω συμμετρίας δεν χρειαζόμαστε

βάρη αλλά μόνο τα βάρη a,b,c,d,e,f

της προηγούμενης λύσης. Θέλουμε οποιοδήποτε κελί επιλέξουμε να προσθέτουμε το ίδιο συνολικό βάρος και άρα θέλουμε $a+2f = a+b+c+f=c+2f+d=\cdots$ κ.τ.λ.

Πράξεις σε κελιά πίνακα

Πράξεις σε κελιά πίνακα

Re: Πράξεις σε κελιά πίνακα

Re: Πράξεις σε κελιά πίνακα

Re: Πράξεις σε κελιά πίνακα

Re: Πράξεις σε κελιά πίνακα

Re: Πράξεις σε κελιά πίνακα

Μέλη σε σύνδεση