Ανισότης!

#1

Θεωρούμε τους θετικούς αριθμούς a, b, c

καθώς και τους $p, q,r \in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ ώστε p + q + r = 1.

Να δείξετε ότι

$\displaystyle{pab + qbc + rca \leq \frac{1}{8} (a + b + c)^2 .}$

Broly · #2

socrates έγραψε:Θεωρούμε τους θετικούς αριθμούς καθώς και τους $p, q,r \in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ ώστε Να δείξετε ότι

$\displaystyle{pab + qbc + rca \leq \frac{1}{8} (a + b + c)^2 .}$

$(a+b+c)^2 \geq 8(pab+qbc+rca) \Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \geq 8pab+8qbc+8rca \Rightarrow [a^2-4ab(4p-1)+b^2]+[b^2-4bc(4q-1)+c^2]+[c^2-4ca(4r-1)+a^2] \geq 0$

Από την ανισότητα $a^2+b^2 \geq 2ab$ αρκέι να αποδείξουμε ότι :

$2ab[1-2(4p-1)]+2bc[1-2(4q-1)]+2ca[1-2(4r-1)] \geq 0$ . Είναι a,b,c>0

και $1-2(4p-1) \geq 0 \Rightarrow p \leq \frac{3}{8}$ που ισχύει μιας και οι p,q,r

ανήκουνε στο διάστημα από $[0,\frac{1}{2}]$ . Παρόμοια και για τα q,r

#3

Για ξαναδές το

Broly έγραψε: $1-2(4p-1) \geq 0 \Rightarrow p \leq \frac{3}{8}$ που ισχύει μιας και οι ανήκουνε στο διάστημα από $[0,\frac{1}{2}]$ .

γιατί η ανισότητα $1-2(4p-1) \geq 0$ δεν ισχύει για $p = \frac {1}{2}$ .

Στη λύση σου έχεις αντικαταστήσει τα $\displaystyle { \Leftarrow$ με $\displaystyle { \Rightarrow$ . Ένα παράδειγμα είναι εδώ:

Broly έγραψε: $(a+b+c)^2 \geq 8(pab+qbc+rca) \Rightarrow$
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \geq 8pab+8qbc+8rca$

Στην περίπτωση αυτή, και σε άλλες, το μεν $\displaystyle { \Rightarrow$ είναι σωστό, αλλά το ζητούμενο είναι το $\displaystyle { \Leftarrow$ .

#4

Επαναφορά!

#5

Επαναφορά!

Αν θυμάμαι καλά, η άσκηση είναι από JTST της Μολδαβίας.

#6

Έστω $a=\max\{a,b,c\}$ . Τότε γράφουμε

$\displaystyle pab+qbc+rca=p(ab-bc)+bc+r(ca-bc)\leq\frac{ab-bc}{2}+bc+\frac{ca-bc}{2}=\frac{a(b+c)}{2}\leq\frac{(a+b+c)^2}{8}$ ,

όπου στο τέλος χρησιμοποιήσαμε την ανισότητα AM-GM.

Η ισότητα ισχύει όταν για παράδειγμα a=b+c

και $p=r=\frac{1}{2}$ .

Ανισότης!

Ανισότης!

Re: Ανισότης!

Re: Ανισότης!

Re: Ανισότης!

Re: Ανισότης!

Re: Ανισότης!

Μέλη σε σύνδεση