Νεότερος γεωμετρικός μέσος
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Νεότερος γεωμετρικός μέσος
Φέρουμε επίσης . Δείξτε ότι :
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Νεότερος γεωμετρικός μέσος
Έστω και .KARKAR έγραψε:Νεότατος γεωμετρικός μέσος.pngΑπό σημείο εκτός κύκλου φέρουμε τέμνουσα και εφαπτόμενο τμήμα .Φέρουμε επίσης . Δείξτε ότι :
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ομοκυκλικά οπότε .
Η είναι η πολική του σημείου ως προς τον κύκλο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική άρα και η δέσμη είναι αρμονική
και με διχοτόμος της γωνίας και .
[attachment=0]1.png[/attachment]
Εξάλλου .
Και με
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
- Συνημμένα
-
- 1.png (30.24 KiB) Προβλήθηκε 1155 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Νεότερος γεωμετρικός μέσος
Από την αρμονική σημειοσειρά , στο αμέσως προηγούμενο σχήμα του Στάθη και , προκύπτει ότι η διχοτομεί την γωνία και άρα, ισχύει όπου .
Από γιατί η ευθεία περνάει από το κέντρο του κύκλου .
Συμπεραίνεται έτσι, και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Από γιατί η ευθεία περνάει από το κέντρο του κύκλου .
Συμπεραίνεται έτσι, και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Νεότερος γεωμετρικός μέσος
Ας δούμε μία άλλη σκέψη.
Έστω , οι περίκυκλοι των τριγώνων και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , έχουμε ότι οι κύκλοι αυτοί εφάπτονται των αντιστοίχως, στο σημείο και άρα, έχουμε
Από και προκύπτει
Από όπου και άρα, τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία και επομένως ισχύει Συμπεραίνεται έτσι, και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Από σημείο έστω , εκτός δοσμένου κύκλου , φέρνουμε τυχούσα διατέμνουσα και την εφαπτομένη εκατέρωθεν της ευθείας , όπου είναι το κέντρο του κύκλου και ας είναι , η προβολή του σημείου επί της ευθείας . Αποδείξτε ότι οι περίκυκλοι έστω , των τριγώνων , εφάπτονται των αντιστοίχως, στο σημείο .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα .
Έστω , οι περίκυκλοι των τριγώνων και σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα , έχουμε ότι οι κύκλοι αυτοί εφάπτονται των αντιστοίχως, στο σημείο και άρα, έχουμε
Από και προκύπτει
Από όπου και άρα, τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία και επομένως ισχύει Συμπεραίνεται έτσι, και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Από σημείο έστω , εκτός δοσμένου κύκλου , φέρνουμε τυχούσα διατέμνουσα και την εφαπτομένη εκατέρωθεν της ευθείας , όπου είναι το κέντρο του κύκλου και ας είναι , η προβολή του σημείου επί της ευθείας . Αποδείξτε ότι οι περίκυκλοι έστω , των τριγώνων , εφάπτονται των αντιστοίχως, στο σημείο .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα .
Re: Νεότερος γεωμετρικός μέσος
Στο σχήμα προστέθηκαν τα διακεκομμένα τμήματα , με το ζητούμενο να προκύπτει (όπως άλλωστε- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Νεότερος γεωμετρικός μέσος
ΛΗΜΜΑ. - Από σημείο έστω , εκτός δοσμένου κύκλου , φέρνουμε τυχούσα διατέμνουσα και την εφαπτομένη εκατέρωθεν της ευθείας , όπου είναι το κέντρο του κύκλου και ας είναι , η προβολή του σημείου επί της ευθείας . Αποδείξτε ότι οι περίκυκλοι έστω , των τριγώνων , εφάπτονται των αντιστοίχως, στο σημείο .
Έστω τα σημεία και , ως τα αντιδιαμετρικά σημεία του στους κύκλος αντιστοίχως, λόγω και .
Από και , όπου είναι τα κέντρα των κύκλων αντιστοίχως, έχουμε με .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο με έχουμε
Από και
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω και άρα, ισχύει .
Ισχύει Αλλά, από εγράψιμα έχουμε και
Από
Λόγω της τώρα, έχουμε
Από
Από και , λόγω συμμετρίας των ως προς την ευθεία , προκύπτει
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω και λόγω συμπεραίνεται ότι είναι ισοσκελές τραπέζιο και επομένως ισχύει
Από λόγω
Από συμπεραίνεται ότι ο κύκλος εφάπτεται της στο σημείο .
Ομοίως αποδεικνύεται ότι και ο κύκλος εφάπτεται της και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Άμεσο αποτέλεσμα του ως άνω Λήμματος , είναι ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, λόγω και άρα ισχύει
Από και άρα, η ευθεία διχοτομεί την γωνία .
Αυτό το αποτέλεσμα, όπως είδαμε στις προηγούμενες αναρτήσεις, προκύπτει εύκολα με αρμονικά συζυγή και πολικές.
Έστω τα σημεία και , ως τα αντιδιαμετρικά σημεία του στους κύκλος αντιστοίχως, λόγω και .
Από και , όπου είναι τα κέντρα των κύκλων αντιστοίχως, έχουμε με .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο με έχουμε
Από και
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω και άρα, ισχύει .
Ισχύει Αλλά, από εγράψιμα έχουμε και
Από
Λόγω της τώρα, έχουμε
Από
Από και , λόγω συμμετρίας των ως προς την ευθεία , προκύπτει
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω και λόγω συμπεραίνεται ότι είναι ισοσκελές τραπέζιο και επομένως ισχύει
Από λόγω
Από συμπεραίνεται ότι ο κύκλος εφάπτεται της στο σημείο .
Ομοίως αποδεικνύεται ότι και ο κύκλος εφάπτεται της και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Άμεσο αποτέλεσμα του ως άνω Λήμματος , είναι ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, λόγω και άρα ισχύει
Από και άρα, η ευθεία διχοτομεί την γωνία .
Αυτό το αποτέλεσμα, όπως είδαμε στις προηγούμενες αναρτήσεις, προκύπτει εύκολα με αρμονικά συζυγή και πολικές.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Νεότερος γεωμετρικός μέσος
Καλησπέρα.KARKAR έγραψε:Νεότατος γεωμετρικός μέσος.pngΑπό σημείο εκτός κύκλου φέρουμε τέμνουσα και εφαπτόμενο τμήμα .
Φέρουμε επίσης . Δείξτε ότι :
Έστω και
Στα ορθογώνια τρίγωνα ισχύει κι ακόμη
Άρα εγγράψιμο οπότε
Ισχύει ακόμη επομένως εφαπτόμενη του περίκυκλου του
Άρα οπότε και
Τώρα, και το ζητούμενο αποδείχτηκε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 5 επισκέπτες