μιγαδικοί+γεωμετρια

#1

i)Έστω ότι .Αν $\displaystyle{A,B,C}$ οι αντίστοιχες εικόνες των μιγαδικών σχηματίζουν τρίγωνο του οποίου το περίκεντρο αντιστοιχει στην αρχή των αξόνων ,τότε να δείξετε ότι το ορθόκεντρο $\displaystyle{H}$ του τριγώνου αντιστοιχεί στον μιγαδικό : $\displaystyle{z_H=z_1+z_2+z_3}$
ii) Aν $\displaystyle{ABCD}$ εγγράψιμμο τετράπλευρο και $\displaystyle{H_1,H_2,H_3,H_4}$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων $\displaystyle{BCD,CDA,DAB,ABC}$ αντιστοίχως,
τότε το τετράπλευρο $\displaystyle{H_1H_2H_3H_4}$ είναι ίσο με το τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Εστω

μη μηδενικοί μιγαδικοί.
Οι διανυσματικές ακτίνες τους είναι κάθετες αν και μόνο αν ο ένας προκύπτει από τον άλλο με στροφή κατά $+_{-}\frac{\pi }{2}$
Δηλαδή $z=iaw ,a\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \bar{w}z=ia\left | w \right |^{2}\Leftrightarrow Rez\bar{w}=0$
i)Εχουμε ότι $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=\left | z_{3} \right |$
Αρκεί να δείξουμε ότι οι $z_{1}-z_{H},z_{2}-z_{3}$ είναι κάθετοι.
(ταυτίζω τις διανυσματικές ακτίνες με τους μιγαδικούς στα επόμενα)
Δηλαδή $Re(z_{2}+z_{3})(\bar{z_{2}}-\bar{z_{3}})=0$
Ισχύει γιατί το $(z_{2}+z_{3})(\bar{z_{2}}-\bar{z_{3}})$ είναι ισο με
$\left | z_{2} \right |^{2}-\left | z_{3} \right |^{2}-z_{2}\bar{z_{3}}+z_{3}\bar{z_{2}}$
ii)Εστω $z_{i},i=1,2,3,4$ οι μιγαδικοί που είναι οι κορυφές του τετραπλεύρου.
Μπορούμε να υποθέσουμε οτι το κέντρο του περιγεγράμενου κύκλου είναι το

Τα ορθόκεντρα είναι οι μιγαδικοί $w_{1}=z_{2}+z_{3}+z_{4},w_{2}=z_{1}+z_{3}+z_{4},w_{3}=z_{2}+z_{1}+z_{4},w_{4}=z_{2}+z_{3}+z_{1}$
Παρατηρούμε ότι $w_{2}-w_{1}=z_{1}-z_{2}$ και όμοια για τα άλλα.
Το τετράπλευρο που σχηματίζουν τα ορθόκεντρα έχει ίσες πλευρές με το αρχικό.
Επίσης είναι εγγεγραμένο σε κύκλο ίδιας ακτίνας με τον αρχικό και κέντρο το $z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}$
Αρα είναι ίσα

#3

Το πρώτο είναι ισοδύναμο με τον τύπο του Sylvester. Αξίζει να δείτε τα ιστορικά σχόλια που είχα γράψει εδώ (τρία ποστ).

μιγαδικοί+γεωμετρια

μιγαδικοί+γεωμετρια

Re: μιγαδικοί+γεωμετρια

Re: μιγαδικοί+γεωμετρια

Μέλη σε σύνδεση