Μέση ανάλογος

#1

: Μέση ανάλογος...png (15.29 KiB) Προβλήθηκε 1140 φορές

Από σημείο

εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB

και έστω

τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{AB}$ .

Αν D, E, F

είναι οι προβολές του

πάνω στις

αντίστοιχα, να δείξετε ότι $\displaystyle{C{D^2} = CE \cdot CF}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε:Μέση ανάλογος...png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{AB}$ .

Αν είναι οι προβολές του πάνω στις αντίστοιχα, να δείξετε ότι $\displaystyle{C{D^2} = CE \cdot CF}$

$\displaystyle{\angle CAB = \angle CBF}$ (υπό χορδής-εφαπτόμενης)και λόγω των εγγράψιμων $\displaystyle{AECD,CDBF}$ οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες

Ακόμη, $\displaystyle{\angle FCD = \angle ECD}$ ως παραπληρώματα των ίσων γωνιών $\displaystyle{PAB,ABP}$ .

Έτσι $\displaystyle{\vartriangle ECD \simeq \vartriangle CDF}$ άρα $\displaystyle{\frac{{CF}}{{CD}} = \frac{{CD}}{{CE}} \Leftrightarrow \boxed{C{D^2} = CE \cdot CF}}$

: MA.png (22.55 KiB) Προβλήθηκε 1119 φορές

STOPJOHN · #3

[quote="george visvikis"]Μέση ανάλογος...png
Από σημείο

εκτός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB

και έστω

τυχαίο σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{AB}$ .

Αν D, E, F

είναι οι προβολές του

πάνω στις

αντίστοιχα, να δείξετε ότι $\displaystyle{C{D^2} = CE \cdot CF}$ [/quote

Καλημέρα Γιώργο
Τα τετράπλευρα ECDA,CDBF

,προφανώς είναι εγράψιμα άρα $\hat{EAC}=\hat{EDC}=\hat{CBD}=\hat{CFD},\hat{CED}=\hat{CAD}=\hat{CBF}=\hat{CDF}$ Οποτε τα τρίγωνα EDC,CFD

είναι όμοια και έπεται η ζητούμενη σχέση

Γιάννης
Χρωστάω το σχήμα ...αργότερα

Μέση ανάλογος

Μέση ανάλογος

Re: Μέση ανάλογος

Re: Μέση ανάλογος

Μέλη σε σύνδεση