Euler 2013/2

[Demetres]

Έστω σημεία του ανά μη συνεπίπεδα. Να δειχθεί ότι αυτά τα σημεία μπορούν να διαμεριστούν σε κορυφές ανά δύο μη τεμνόμενων τετραέδρων.

[dement]

Για το αποτέλεσμα είναι τετριμμένο. Έστω ότι ισχύει για .

Για :

Επειδή το τετράεδρο είναι η κυρτή θήκη των κορυφών του, έπεται ότι αν όλες οι κορυφές ενός τετραέδρου βρίσκονται στον ίδιο (ανοικτό) ημιχώρο ενός επιπέδου τότε ολόκληρο το τετράεδρο βρίσκεται στον ημιχώρο.

Επιλέγουμε κλάση επιπέδων παράλληλων μεταξύ τους τέτοιων ώστε ο κοινός κάθετος φορέας να μην είναι κάθετος σε κανένα από τα (πεπερασμένου πλήθους) ευθύγραμμα τμήματα . Αυτή η επιλογή μπορεί πάντα να γίνει γιατί μπορεί πάντα να βρεθεί διάνυσμα μη κάθετο σε πεπερασμένου πλήθους διανύσματα.

Κάθε τέτοιο επίπεδο θα περιέχει το πολύ ένα από τα σημεία και έτσι θα υπάρχει τουλάχιστον ένα επίπεδο, στον ένα ημιχώρο του οποίου θα υπάρχουν ακριβώς σημεία (και το τετράεδρο που αυτά ορίζουν). Επίσης, για οποιαδήποτε σημεία από τα υπόλοιπα , το τετράεδρό τους θα βρίσκεται στον άλλο ημιχώρο. Αυτό ολοκληρώνει την επαγωγή.