Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Γιώργος Απόκης · #1

Έστω οι συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:[0,1]\to [0,1]}$ . Αν ισχύει $\displaystyle{f\circ g=g\circ f}$ και η $\displaystyle{f}$ είναι

γνησίως φθίνουσα και συνεχής, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{x_0\in(0,1)}$

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x_0)=g(x_0)=x_0}$ .

Edit : Το διάστημα που περιέχει τη ρίζα είναι ανοιχτό. Βασίλη ευχαριστώ

Tolaso J Kos · #2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:[0,1]\to [0,1]}$ . Αν ισχύει $\displaystyle{f\circ g=g\circ f}$ και η $\displaystyle{f}$ είναι

γνησίως φθίνουσα και συνεχής, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{x_0\in[0,1]}$

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x_0)=g(x_0)=x_0}$ .

Γεια σου Γιώργο,

Θα δείξουμε , για αρχή, ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε . Θεωρούμε τη συνάρτηση $h(x)=f(x)-x , \; x \in [0, 1]$ η οποία είναι συνεχής και γνήσια φθίνουσα. Τότε και . Όμως $0 \leq f(0) \leq 1$ και $0 \leq f(1) \leq 1$ . Οπότε ο Bolzano μας εξασφαλίζει την υπάρξη του . Η μοναδικότητα έπεται της μονοτονίας της .
Για το παραπάνω για το οποίο ισχύει θα δείξω ότι ισχύει και . Παρατηρούμε ότι
$\displaystyle{h\left ( g(x_0) \right )= f \left ( g(x_0) \right ) - g\left ( x_0 \right ) = g \left ( f\left ( x_0 \right ) \right ) - g\left ( x_0 \right ) = g\left ( x_0 \right ) - g \left ( x_0 \right ) = 0 = h \left ( x_0 \right )}$ Επειδή η είναι γνήσια φθίνουσα είναι και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Γιώργος Απόκης · #3

#4

Tolaso J Kos έγραψε:
Γιώργος Απόκης έγραψε:Έστω οι συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:[0,1]\to [0,1]}$ . Αν ισχύει $\displaystyle{f\circ g=g\circ f}$ και η $\displaystyle{f}$ είναι

γνησίως φθίνουσα και συνεχής, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{x_0\in[0,1]}$

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(x_0)=g(x_0)=x_0}$ .
Γεια σου Γιώργο,

Θα δείξουμε , για αρχή, ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε . Θεωρούμε τη συνάρτηση $h(x)=f(x)-x , \; x \in [0, 1]$ η οποία είναι συνεχής και γνήσια φθίνουσα. Τότε και . Όμως $0 \leq f(0) \leq 1$ και $0 \leq f(1) \leq 1$ . Οπότε ο Bolzano μας εξασφαλίζει την υπάρξη του . Η μοναδικότητα έπεται της μονοτονίας της .

Για το παραπάνω για το οποίο ισχύει θα δείξω ότι ισχύει και . Παρατηρούμε ότι
$\displaystyle{h\left ( g(x_0) \right )= f \left ( g(x_0) \right ) - g\left ( x_0 \right ) = g \left ( f\left ( x_0 \right ) \right ) - g\left ( x_0 \right ) = g\left ( x_0 \right ) - g \left ( x_0 \right ) = 0 = h \left ( x_0 \right )}$ Επειδή η είναι γνήσια φθίνουσα είναι και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

...Καλησπέρα Γιώργο και Τόλη... και στην εκλεκτή παρέα

Θα ήθελα να κάνω μία σημαντική παρατήρηση διόρθωση στο παραπάνω θέμα του Γιώργου και στην λύση του

επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνήσια φθίνουσα στο [0,1]

ισχύει ότι $0\le f(1)<f(0)\le 1$ άρα το

h(0)=f(0)>0

και το

άρα το ${{x}_{0}}\in (0,\,1)$ αφού δεν μπορεί οι $0,\,\,1$ να είναι ρίζες της f(x)=x

οπότε πρέπει να διορθωθεί και στην υπόθεση του θέματος….

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Γιώργος Απόκης · #5

Βασίλη έχεις δίκιο, σε ευχαριστώ! Διορθώνω

Ιστοσελίδα · #6

Παρόμοιο θέμα με αλλαγή του είδους μονοτονίας.

Έστω $f,g:[0,1]\to [0,1]$ συνεχείς συναρτήσεις.
Υποθέτουμε ότι η

είναι αύξουσα και $g\circ f=f\circ g$ .
Δείξτε ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν κοινό σταθερό σημείο, δηλαδή
υπάρχει $x_0\in [0,1]$ τέτοιος, ώστε f(x_0)=g(x_0)=x_0 .

Δείτε εδώ για τη λύση του.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Οι συνθήκες στο αρχικό πρόβλημα μπορούν να εξασθενήσουν.

Συγκεκριμένα η

αρκεί να είναι φθίνουσα μη σταθερή.

Γιατί αφού η

είναι μη σταθερή δεν μπορεί να εχει σταθερά σημεία τα 0,1

Πρέπει να αποκλείσουμε να έχει δύο σταθερά σημεία.

Εστω $g(x_{1})=x_{1},g(x_{2})=x_{2}$

Αν $x_{1}< x_{2}$ τότε $x_{1}=g(x_{1})\geq g(x_{2})=x_{2}$ ΑΤΟΠΟ

Ομοία αν $x_{1}> x_{2}$

Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Re: Σύνθεση - συνέχεια - ύπαρξη

Μέλη σε σύνδεση