Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (4)

dement · #1

Για το αγαπημένο του παιχνίδι ο Ανδρέας χρησιμοποιεί δύο κανονικά ζάρια (κύβους με κουκίδες από

ως

). Δυστυχώς έχει χάσει τα ζάρια που είχε, αλλά διαθέτει ένα τετράεδρο και ένα εννιάεδρο ζάρι (δε μας απασχολεί η μορφή αυτών των ζαριών, ούτε αν υπάρχουν κατάλληλα πολύεδρα - απλώς το ένα έχει

ισοπίθανες έδρες και το άλλο

ισοπίθανες έδρες).

Πώς πρέπει να σχεδιαστούν οι κουκίδες στις έδρες αυτών των ζαριών (απαιτείται τουλάχιστον μία κουκίδα ανά έδρα) έτσι ώστε το άθροισμα των αποτελεσμάτων μιας ρίψης τους να έχει τις ίδιες δυνατές τιμές με αυτές δύο κανονικών, εξάεδρων ζαριών και με τις ίδιες πιθανότητες; Βρείτε όλες τις δυνατές λύσεις.

nikkru · #2

dement έγραψε:Για το αγαπημένο του παιχνίδι ο Ανδρέας χρησιμοποιεί δύο κανονικά ζάρια (κύβους με κουκίδες από ως ). Δυστυχώς έχει χάσει τα ζάρια που είχε, αλλά διαθέτει ένα τετράεδρο και ένα εννιάεδρο ζάρι (δε μας απασχολεί η μορφή αυτών των ζαριών, ούτε αν υπάρχουν κατάλληλα πολύεδρα - απλώς το ένα έχει ισοπίθανες έδρες και το άλλο ισοπίθανες έδρες).

Πώς πρέπει να σχεδιαστούν οι κουκίδες στις έδρες αυτών των ζαριών (απαιτείται τουλάχιστον μία κουκίδα ανά έδρα) έτσι ώστε το άθροισμα των αποτελεσμάτων μιας ρίψης τους να έχει τις ίδιες δυνατές τιμές με αυτές δύο κανονικών, εξάεδρων ζαριών και με τις ίδιες πιθανότητες; Βρείτε όλες τις δυνατές λύσεις.

Καλημέρα,

Παρακάτω θα ονομάζω κανονικά ζάρια τα συνηθισμένα κυβικά ζάρια και ζάρια το τετράεδρο και το εννιάεδρο.

είναι όλοι οι δυνατοί συνδιασμοί των εδρών των δύο ζαριών με κάθε έδρα του τετράεδρου να εμφανίζεται 36:4=9

φορές και του εννιάεδρου

φορές σε αυτές τις

διαφορετικές περιπτώσεις.

Έστω

το άθροισμα των κουκίδων του τετράεδρου και

του εννιάεδρου, τότε 9t+4n=252

, αφού

είναι το άθροισμα των κουκίδων στις

διαφορετικές περιπτώσεις ρίψης δύο κανονικών ζαριών. Οπότε το

είναι πολλαπλάσιο του

και το

είναι πολλαπλάσιο του

. . (1)

Αφού απαιτείται τουλάχιστον μια κουκίδα ανά έδρα και στις

διαφορετικές περιπτώσεις των κανονικών ζαριών έχουμε μια φορά άθροισμα

και μια φορά

, θα πρέπει ακριβώς μια έδρα σε κάθε ζάρι να έχει μια κουκίδα και ακριβώς μια έδρα σε κάθε ζάρι να έχει τον μέγιστο αριθμό κουκίδων. Επίσης στις

διαφορετικές περιπτώσεις των κανονικών ζαριών έχουμε δυο φορές άθροισμα

και δυο φορές άθροισμα

, θα πρέπει ακριβώς μια έδρα σε κάθε ζάρι να έχει δυο κουκίδες και ακριβώς μια έδρα σε κάθε ζάρι να έχει μια κουκίδα λιγότερη από τον μέγιστο αριθμό κουκίδων. (2)

Από

και

προκύπτει οτι για το τετράεδρο έχουμε μόνο μια λύση (για t=12

), βάζοντας στις

έδρες του τετράεδρου 1,2,4,5

κουκίδες αντίστοιχα και στις

έδρες του εννιάεδρου 1,2,3,3,4,5,5,6,7

κουκίδες αντίστοιχα.

#3

Υπάρχουν και άλλες λύσεις:

Π.χ. 1,4,4,7

για το τετράεδρο και 1,2,2,3,3,3,4,4,5

για το εννιάεδρο.

dement · #4

Και δεν τελειώσαμε!

nikkru · #5

dement έγραψε:Και δεν τελειώσαμε!

Πράγματι έχουμε και άλλες λύσεις,

για t=16

είναι

και έχουμε την λύση που έδωσε παραπάνω ο Δημήτρης,
για t=8

είναι

και έχουμε την λύση 1,2,2,3

για το τετράεδρο και 1,3,3,5,5,5,7,7,9

για το εννιάεδρο

και εδώ νομίζω οτι τελειώσαμε με όλες τις περιπτώσεις.

#6

Η γεννήτρια συνάρτηση των κανονικών ζαριών είναι $\displaystyle{ (x+x^2+\cdots + x^6)^2 = \frac{x^2(x^6-1)^2}{(x-1)^2} = x^2(x^2+x+1)^2(x+1)^2(x^2-x+1)^2}$

Έστω f(x)

η γεννήτρια συνάρτηση του τετραέδρου και g(x)

η γεννήτρια συνάρτηση του εννιαέδρου.

Τότε f(x)g(x) = x^2(x^2+x+1)^2(x+1)^2(x^2-x+1)^2

. Επίσης όλοι οι συντελεστές των f(x),g(x)

είναι μη αρνητικοί, f(1) = 4, g(1) = 9

και

.

Οι μόνες δυνατές περιπτώσεις είναι

Α) $\displaystyle{ f(x) = x(x+1)^2 = x + 2x^2 + x^3}$ και $\displaystyle{ g(x) = x(x^2+x+1)^2(x^2-x+1)^2 = x + 2x^3 + 3x^5 + 2x^7 + x^9}$

Αυτό δίνει 1,2,2,3

για το τετράεδρο και 1,3,3,5,5,5,7,7,9

για το εννιάεδρο.

Β) $\displaystyle{ f(x) = x(x+1)^2(x^2-x+1) = x + x^2 + x^4 + x^5}$ και $\displaystyle{ g(x) = x(x^2+x+1)^2(x^2-x+1) = x + x^2 + 2x^3 + x^4 + 2x^5 + x^6 + x^7 }$

Αυτό δίνει 1,2,4,5

για το τετράεδρο και 1,2,3,3,4,5,5,6,7

για το εννιάεδρο.

Γ) $\displaystyle{ f(x) = x(x+1)^2(x^2-x+1)^2 = x + 2x^4 + x^7}$ και $\displaystyle{ g(x) = x(x^2+x+1)^2 = x + 2x^2 + 3x^3 + 2x^4 + x^5}$

Αυτό δίνει 1,4,4,7

για το τετράεδρο και 1,2,2,3,3,3,4,4,5

για το εννιάεδρο.

Ο λόγος που δεν υπάρχουν άλλες περιπτώσεις είναι ο εξής: Τα x,x+1,x^2+x+1,x^2-x+1

είναι ανάγωγα. Ένα από τα

πρέπει να πάει με το f(x)

και το άλλο με το g(x)

ώστε να ικανοποιείται το f(0) = g(0) = 1

. Για να ικανοποιούνται τα f(1) = 4,g(1) = 9

αναγκαστικά πρέπει τα x^2+x+1

να πάνε με το g(x)

και τα

με το

. Τέλος έχουμε πλήρη ελευθερία να αποφασίσουμε για τα x^2-x+1

. (Μόνο που πρέπει να σιγουρευτούμε ότι στα τελικά αποτελέσματα όλοι οι συντελεστές είναι μη αρνητικοί.)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (4)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (4)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (4)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (4)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (4)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (4)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (4)

Μέλη σε σύνδεση