Ύπαρξη

#1

Για τις συναρτήσεις $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ υποθέτουμε ότι η

είναι 1-1 και επί και ισχύει $f(x) + g(x) = 2\text{,}$ για κάθε $x\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x_0

ώστε $f(f(x_0)) + g(g(x_0)) = 2\text{.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

που επίσης είναι 1-1 και επί.(αν και δεν χρειάζεται)

Εχουμε $f(f(x))+g(g(x))=2\Leftrightarrow f(f(x))+2-f(2-f(x))=2\Leftrightarrow f(f(x))=f(2-f(x))$

και επειδή η

είναι 1-1 η τελευταία είναι ισοδύναμη με την f(x)=1

που προφανως έχει μοναδική λύση αφού η

είναι 1-1 και επί.

#3

#4

ΛΥΣΗ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ
Θα στηριχτούμε στο
Αν $\displaystyle{f }$ παίρνει όλες τις τιμές ενός διαστήματος $\displaystyle{I}$ και είναι και γνήσια μονότονη
τότε είναι συνεχής
Επειδή $\displaystyle{f 1-1}$ και επι ισχύουν τα παραπάνω για τις $\displaystyle{f,g}$
Είναι $\displaystyle{f(f(x))+g(g(x))-2=f(f(x))+2-f(2-f(x))-2=f(f(x))-f(f(2-f(x))=h(x)}$
Eπειδή $\displaystyle{f}$ επί υπάρχει $\displaystyle{f(a)=1}$
Εστω $\displaystyle{f}$ γνήσια αυξουσα και $\displaystyle{b<a}$ τοτε $\displaystyle{f(b)<1\Rightarrow f(b)<2-f(b)\Rightarrow h(b)<0}$
ομοια για $\displaystyle{c>a}$ είναι $\displaystyle{h(c)>0}$
Ομοια και οι άλλες περιπτώσεις
Aπό ΘΒ το ζητούμενο

Ύπαρξη

Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Re: Ύπαρξη

Μέλη σε σύνδεση