Σταθερό γινόμενο

KARKAR · #1

: Σταθερό γινόμενο.png (10.45 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Στο άκρο

της διαμέτρου AB=2r

ενός ημικυκλίου , φέρω ευθεία κάθετη στην

.

Σε σημείο

της προέκτασης της

, ώστε

, φέρω δεύτερη κάθετη

και πάνω σ' αυτήν παίρνω τυχαίο σημείο

. Η

τέμνει το ημικύκλιο στο

και την πρώτη κάθετη στο

. Δείξτε ότι το γινόμενο $ST \cdot QB$ είναι σταθερό .

Οι μεγάλοι θα απαντήσουν τον άλλο μήνα , τώρα μόνον τα γυμνασιόπαιδα ...

big-pitsirikos · #2

KARKAR έγραψε:
Σταθερό γινόμενο.png
Στο άκρο της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , φέρω ευθεία κάθετη στην .

Σε σημείο της προέκτασης της , ώστε , φέρω δεύτερη κάθετη

και πάνω σ' αυτήν παίρνω τυχαίο σημείο . Η τέμνει το ημικύκλιο στο

και την πρώτη κάθετη στο . Δείξτε ότι το γινόμενο $ST \cdot QB$ είναι σταθερό .

Οι μεγάλοι θα απαντήσουν τον άλλο μήνα , τώρα μόνον τα γυμνασιόπαιδα ...

Έστω

.

Ισχύει $\widehat{AQB}=90^0$ , άρα στο ορθογώνιο TAB

, η

είναι ύψος.
Έτσι,

$AB^2=TB \cdot QB \Leftrightarrow TB=\dfrac{4r^2}{x}$ .

Από Θαλή ισχύει $\dfrac{TB}{TS}=\dfrac{AB}{AP}=\dfrac{4r^2}{xy}=\dfrac{2r}{d} \Leftrightarrow \boxed{xy=2rd=ct}$ , και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Σταθερό γινόμενο

Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση