Μέγιστο γινόμενο

KARKAR · #1

: Μέγιστο γινόμενο.png (12.17 KiB) Προβλήθηκε 1672 φορές

Η

είναι η μεσοκάθετη ακτίνα της διαμέτρου AB=2R

ενός ημικυκλίου .

Σημείο

κινείται στο "δεξιό τεταρτοκύκλιο" και η

τέμνει την

στο σημείο

. Για το σημείο

της

, είναι : $PT \parallel AB$ .

β) Βρείτε τη θέση του

, για την οποία μεγιστοποιείται το γινόμενο : $ST \cdot TB$

Διαγραφή του ερωτήματος α)

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

b) Φέρνουμε από το

κάθετη στην

και έστω

το σημείο τομής τους. Προφανώς τα τρίγωνα SPT

και

είναι όμοια. Έχουμε:

$\dfrac{ST}{KB}=\dfrac{PT}{TB}\Leftrightarrow ST\cdot TB=PT\cdot KB$

Όμως το άθροισμα PT+KB

είναι σταθερό (PT+KB=R)

, συνεπώς η μέγιστη τιμή του γινομένου $ST\cdot TB=PT\cdot KB$ είναι όταν $OK=KB=PT=\dfrac{R}{2}$

Για να προσδιοριστεί το

, αρκεί να προσδιορίσουμε τη θέση του

πάνω στην

.

Προφανώς $\dfrac{SP}{SA}=\dfrac{PT}{AB}=\dfrac{1}{4}$ . Άρα, $SP=\dfrac{PA}{3}$ (1)

Ακόμη από τα όμοια τρίγωνα APO

και

, προκύπτει ότι $\dfrac{PA}{PT}=\dfrac{AO}{SP}\Leftrightarrow PA\cdot SP=PT\cdot AO=\dfrac{R^2}{2}$ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε ότι $\dfrac{PA^2}{3}=\dfrac{R^2}{2}\Leftrightarrow PA^{2}=\dfrac{3R^2}{2}$

Τέλος με πυθαγόρειο στο τρίγωνο APO

προκύπτει ότι $PO=\dfrac{R}{\sqrt{2}}$

#3

Ωραία Διονύση .

#4

KARKAR έγραψε:Μέγιστο γινόμενο.pngΗ είναι η μεσοκάθετη ακτίνα της διαμέτρου ενός ημικυκλίου . Σημείο κινείται στο "δεξιό τεταρτοκύκλιο" και η τέμνει την στο σημείο . Για το σημείο της , είναι : $ST \parallel AB$ .
β) Βρείτε τη θέση του , για την οποία μεγιστοποιείται το γινόμενο : $ST \cdot TB$

Ας είναι η τέταρτη κορυφή του ορθογωνίου .

Τότε από ομοκυκλικότητα των $S,Q,B,\left( O \right),P\left( {\angle PSB = \angle PQB = {{90}^0}} \right) \Rightarrow$ $\boxed{\left( {ST} \right) \cdot \left( {TB} \right) = \left( {PT} \right) \cdot \left( {TQ} \right)}:\left( 1 \right)$ .

Με $\left( {PT} \right) + \left( {TQ} \right) = \left( {PQ} \right) = \left( {OB} \right) = R = ct$ προκύπτει ότι $\max \left( {\left( {ST} \right) \cdot \left( {TB} \right)} \right) = \max \left( {\left( {PT} \right) \cdot \left( {TQ} \right)} \right)$ προκύπτει για $\left( {PT} \right) = \left( {TQ} \right) = \dfrac{R}{2}$

(γνωστή πρόταση: το μέγιστο γινομένου θετικών αριθμών σταθερού αθροίσματος πραγματοποιείται όταν οι αριθμοί γίνουν ίσοι) .
[attachment=0]Μέγιστο γινόμενο..png[/attachment]
Αν $SK \bot AB$ έχουμε : $\dfrac{{KO}}{{KA}}\mathop = \limits^{OP\parallel SK} \dfrac{{SP}}{{SA}}\mathop = \limits^{PT\parallel AB} \dfrac{{\dfrac{R}{2}}}{{2R}} = \dfrac{1}{4}$ και συνεπώς η θέση του προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της καθέτου επί της

στο σημείο που χωρίζει εξωτερικά το τμήμα σε λόγο $\dfrac{1}{4}$ με το τόξο και η ζητούμενη θέση του έχει προσδιοριστεί,

Στάθης

KARKAR · #5

: Μέγιστο γινόμενο.png (12.73 KiB) Προβλήθηκε 1535 φορές

Ένα σχόλιο για το πρώτο ερώτημα : Είναι εύκολο να δειχθεί , ότι ο λόγος $\dfrac{SP}{PA}$ , συνεπώς

και ο ίσος του $\dfrac{ST}{TB}$ , βαίνει συνεχώς μειούμενος , καθώς το

κινείται από

το

προς το

. Αν έτσι διετύπωνα το ερώτημα , θα ήταν εντάξει . Αυτό όμως

δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η μεταβολή των TB,ST

είναι αντίθετης φοράς !

Πράγματι το

συνεχώς αυξάνει , αλλά το

προς το τέλος μεν της διαδρομής

μειώνεται , αλλά αρχικά αυξάνει ! Ωραίο μάθημα και σήμερα ...

Δικαιούμαι λοιπόν τώρα να θέσω το ερώτημα : Ποιο είναι το μέγιστο του

.

Δεν έχω επιχειρήσει ακόμη να απαντήσω , γράφω εν θερμώ !

#6

KARKAR έγραψε: Δικαιούμαι λοιπόν τώρα να θέσω το ερώτημα : Ποιο είναι το μέγιστο του .
Δεν έχω επιχειρήσει ακόμη να απαντήσω , γράφω εν θερμώ !

Ας επιχειρήσω μια απάντηση με τη βοήθεια της τεχνολογίας.

: 30-10-2016 Γεωμετρία.jpg (16.37 KiB) Προβλήθηκε 1504 φορές

Έστω $O(0, 0), A(-1, 0), B(1, 0), S(cost, sint), 0<t < \frac{\pi}{2}$ .

Οπότε $\displaystyle SA:\;\;y = \frac{{\sin t}}{{\cos t + 1}}x + \frac{{\sin t}}{{\cos t + 1}}$ και $\displaystyle SB:\;\;y = \frac{{\sin t}}{{\cos t - 1}}x - \frac{{\sin t}}{{\cos t - 1}}$ .

Βρίσκουμε $\displaystyle P\left( {0,\;\frac{{\sin t}}{{\cos t + 1}}} \right)$ , οπότε $\displaystyle T\left( {\frac{{2\cos t}}{{\cos t + 1}},\;\frac{{\sin t}}{{\cos t + 1}}} \right)$ .

Άρα $\displaystyle ST = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\cos t}}{{\cos t + 1}} - \cos t} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sin t}}{{\cos t + 1}} - \sin t} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{2{{\cos }^2}t - 2{{\cos }^3}t}}{{{{\left( {\cos t + 1} \right)}^2}}}}$ .

Με χρήση εργαλείων (Geogebra) προσδιορίζω το μέγιστο για $\displaystyle t \cong 0,9745\;\;rad$ με τιμή περίπου 0,33675

.

#7

KARKAR έγραψε:Μέγιστο γινόμενο.pngΈνα σχόλιο για το πρώτο ερώτημα : Είναι εύκολο να δειχθεί , ότι ο λόγος $\dfrac{SP}{PA}$ , συνεπώς

και ο ίσος του $\dfrac{ST}{TB}$ , βαίνει συνεχώς μειούμενος , καθώς το κινείται από

το προς το . Αν έτσι διετύπωνα το ερώτημα , θα ήταν εντάξει . Αυτό όμως

δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η μεταβολή των είναι αντίθετης φοράς !

Πράγματι το συνεχώς αυξάνει , αλλά το προς το τέλος μεν της διαδρομής

μειώνεται , αλλά αρχικά αυξάνει ! Ωραίο μάθημα και σήμερα ...

Δικαιούμαι λοιπόν τώρα να θέσω το ερώτημα : Ποιο είναι το μέγιστο του .

Δεν έχω επιχειρήσει ακόμη να απαντήσω , γράφω εν θερμώ !

Καλησπέρα σε όλους!

Το ίδιο αποτέλεσμα με τον Γιώργο Ρίζο (όπως αναμενόταν άλλωστε), αλλά με διαφορετική προσέγγιση.

: Μέγιστο γινόμενο. 2.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 1471 φορές

Έστω

. Από τα όμοια τρίγωνα AOP, SPT

: $\displaystyle{\frac{x}{{ST}} = \frac{{PA}}{{PT}} \Leftrightarrow ST = \frac{{xPT}}{{PA}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{ST = \frac{{xPT}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}$

Από δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο και το εγγράψιμο OPSB

, έχουμε:

$\displaystyle{AP \cdot PS = 1 - {x^2},AP \cdot AS = 2 \Rightarrow \frac{{PS}}{{AS}} = \frac{{1 - {x^2}}}{2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{PT||AB} }$ $\boxed{PT = 1 - {x^2}}$

Άρα: $\displaystyle{ST = f(x) = \frac{{x - {x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}$ , παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f'(x) = \frac{{2{x^4} + 3{x^2} - 1}}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }}}$ και εύκολα βρίσκω ότι παρουσιάζει στο

$\boxed{{x_0} = \frac{{\sqrt {\sqrt {17} - 3} }}{2}}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{S{T_{\max }} = \frac{{\left( {7 - \sqrt {17} } \right)\sqrt {5 - \sqrt {17} } }}{8}}$

Μέγιστο γινόμενο

Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Re: Μέγιστο γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση