Τύποι Συνδυαστικής

#1

Καλημέρα σε όλους!

Θα ήθελα τη γνώμη σας και τις γνώσεις σας στο παρακάτω:

Αν θυμάμαι καλά, στη Συνδυαστική πολλές φορές μπορούμε να εκφράσουμε ένα ενδεχόμενο με διαφορετικούς τύπους. Κάποιοι είναι πιο κομψοί και σύντομοι.
Οι τύποι των συνδυασμών που δίνω είναι οι κατάλληλοι για κάθε περίπτωση ή υπάρχουν απλούστεροι;

Οι δυνατές περιπτώσεις των ενδείξεων στη ρίψη τριών ζαριών είναι 6^3 = 216

.

Αναζητώ τις περιπτώσεις:
Και τα τρία έχουν την ίδια ένδειξη:
Προφανώς είναι οι συνδυασμοί των

ανά

, δηλαδή $\displaystyle \left( \begin{array}{l} 6\\ 1 \end{array} \right) = \frac{{6!}}{{1! \cdot 5!}} = 6$ .

Τα δύο έχουν ίδια ένδειξη

Τα ζεύγη είναι έξι: {1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6}

. Συνδυάζονται με τους πέντε διαφορετικούς κάθε φορά αριθμούς. Π.χ. το ζεύγος 1-1

δίνει πέντε τριάδες με τους αριθμούς: {2, 3, 4, 5, 6}

, τις

.
Σχηματίζονται έτσι

συνδυασμοί. Φιάχνοντας όλες τις δυνατές διατάξεις, έχουμε

περιπτώσεις. Π.χ. για τις ενδείξεις 1, 1, 2

έχουμε τις περιπτώσεις: {1-1-2, 1-2-1, 2-1-1}

και ούτω καθεξής έχουμε τρεις δυνατές περιπτώσεις για κάθε έναν από τους

συνδυασμούς διπλής ένδειξης ζαριού.

Ο τύπος της Συνδυαστικής για τη διπλή ένδειξη είναι:
$\displaystyle \left( \begin{array}{l} 6\\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l} 5\\ 1 \end{array} \right) \cdot 3 = 6 \cdot 5 \cdot 3 = 90$

Τα ζάρια έχουν τρεις διαφορετικές ενδείξεις
Ο τύπος είναι
$\displaystyle \left( \begin{array}{l} 6\\ 3 \end{array} \right) \cdot 3! = \frac{{6!}}{{3! \cdot 3!}} \cdot 6 = 120$
Συνδυασμοί των

ανά

επί τις διατάξεις τους, που είναι

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ...Οι δυνατές περιπτώσεις των ενδείξεων στη ρίψη τριών ζαριών είναι...

Από τη λύση που έχει δοθεί καταλαβαίνω ότι μιλάμε για διαφορετικές διατάξεις των τριών ζαριών.

Για την τελευταία περίπτωση που και τα τρία ζάρια έχουν διαφορετικές ενδείξεις μπορούμε και με άλλο σκεπτικό να πούμε ότι για το 1ο ζάρι έχουμε

επιλογές, για το 2ο έχουμε

επιλογές και για το 3ο έχουμε

επιλογές.

Δηλαδή:

$\displaystyle{{6 \choose 1}{5 \choose 1}{4 \choose 1 } = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120}$

ή και κατευθείαν:

$6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$

Με άλλο τρόπο, με τον τύπο των διατάξεων

ανά

:

$\dfrac{6!}{3!} = 120$

----------------------------------------------

Όμως αν μιλάμε απλά για διαφορετικούς συνδυασμούς των τριών ζαριών, δηλαδή χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά, τότε νομίζω πως έχουμε άλλα αποτελέσματα.

Όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί είναι:

Επαναληπτικοί συνδυασμοί των

ανά

: $\displaystyle{{6+3-1 \choose 3} = \dfrac{8!}{5!3!} = 56}$

Και τα τρία θα έχουν την ίδια ένδειξη:

Ισχύει και εδώ το $\displaystyle{{6 \choose 1} = 6}$

Ακριβώς δύο ζάρια θα έχουν την ίδια ένδειξη:

Επιλέγουμε

αριθμούς από τους

και μετά έχουμε

περιπτώσεις για το ποιος από τους αριθμούς που επιλέχθηκαν θα παίξει το ρόλο της διπλής ένδειξης.

Άρα έχουμε: $\displaystyle{{6 \choose 2} \cdot 2 = \dfrac{6!}{4!2!} \cdot 2 = 30}$

Κάθε ζάρι θα έχει διαφορετική ένδειξη:

Έχουμε $\displaystyle{{6 \choose 3} = \dfrac{6!}{3!3!} = 20}$

Και προφανώς ισχύει ότι 56 = 6 +30 +20

(για επαλήθευση).

Υ.Γ. Με την ευκαιρία θα ήθελα να εκφράσω έναν προβληματισμό μου, γενικότερα για τα προβλήματα συνδυαστικής. Ακολουθεί...

harrisp · #3

Καλησπέρα σ΄όλους!

Ισως να είμαι εκτός θέματος αλλά ενδιαφέρον παρουσιάζει και το εξής ερώτημα που έχει να κάνει με ρίψεις ζαριών:

Αν ρίξουμε τρία ζάρια ταυτοχρόνως και αθροίσουμε την τιμή του καθενός ποιός/οί αριθμός/οί είναι πιο πιθανό να εμφανιστεί/ούν.

#4

Διονύση, ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου και τις αναλυτικές απαντήσεις στα ερωτήματά μου.

Το πρόβλημά μου, τώρα, είναι να εντοπίσω την πηγή του προβληματισμού μου, καθότι έχουν περάσει περίπου 10 μήνες από τότε...
Αν ανακαλύψω το θέμα που με προβλημάτισε θα το μοιραστώ μαζί σας.

Η Συνδυαστική είναι όμορφη άσκηση του νου και λείπει από το εκπαιδευτικό μας πρόγραμμα.
Δυστυχώς οι δίχως σχέδιο και όραμα πειραματισμοί με τα Διακριτά Μαθηματικά στερούν από τους μαθητές μας χρήσιμες και ενδιαφέρουσες γνώσεις. Αναφέρομαι στην απαράδεκτη απόφαση να μεταφερθεί αυτούσιο ένα κομμάτι των Πιθανοτήτων στην Α΄ Λυκείου, να μην μπορεί να διδαχτούν σωστά οι έννοιες αυτές σε μαθητές Α΄ Λυκείου, με τελικό αποτέλεσμα να "βγει" απ' την ύλης.
Με απλά λόγια: "Πονάει κεφάλι, κόψει κεφάλι".

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

Κύριε Γιώργο

ευτυχώς λοιπόν που υπάρχει και το

που μας δίνει την δυνατότητα να ασχοληθούμε με όλα αυτά τα ωραία πράγματα, και όλοι εσείς που δίνετε από τον πολύτιμο χρόνο σας.

Σας ευχαριστούμε

Ένας προβληματισμός για τα προβλήματα συνδυαστικής

Έχω διαπιστώσει ότι σε προβλήματα συνδυαστικής είναι πολύ εύκολο κάποιος να ξεγελαστεί και να δώσει λύση διαφορετική από αυτή που θα έπρεπε. Επίσης, μπορεί με διαφορετικά σκεπτικά, που του φαίνονται το ίδιο σωστά, να καταλήγει σε διαφορετικά αποτελέσματα.

Πολλές φορές πιστεύω ότι ένα μέρος της ευθύνης το έχουν οι ασαφείς διατυπώσεις κάποιων προβλημάτων. Μπορεί για τον θεματοδότη κάτι να είναι σαφές που όμως για τον λύτη να μην είναι.

1ο Παράδειγμα:

Ζητάει κάποια άσκηση με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν

καλεσμένοι σε ένα κυκλικό τραπέζι.

Για εμένα δεν παίζει ρόλο το σχήμα που θα έχει το τραπέζι, θεωρώ ότι υπάρχουν

διαφορετικές θέσεις, άρα έχουμε 20!

μεταθέσεις. Αν στο σπίτι μου είχαμε κυκλικό τραπέζι, πάλι είναι διαφορετική η θέση που βλέπει προς την τηλεόραση με αυτήν που βλέπει προς την πόρτα. Όμως γιατί να αναφέρεται ότι το τραπέζι είναι κυκλικό; Μήπως μας ενδιαφέρει μόνο για τον κάθε καλεσμένο ποιούς θα έχει δίπλα του; Τότε μιλάμε για κυκλικές μεταθέσεις δηλαδή 19!

. Το ίδιο όμως δεν θα γινόταν και με τετράγωνο ή με ορθογώνιο τραπέζι αν δεν μας ενδιέφερε ποιος θα καθίσει στην κεφαλή του τραπεζιού; Το ίδια γίνονται με τον κυκλικό χορό, που τουλάχιστον εκεί γυρίζουν όλοι γύρω γύρω, ενώ στο τραπέζι είναι δύσκολο να γίνει κάτι τέτοιο. Και πάλι όμως, τι κυκλικός χορός θα είναι αυτός; Θα πιάνονται όλοι ο καθένας με τους διπλανούς του, και άρα δεν μπορούμε να πούμε ποια είναι η αρχή του κύκλου, ή θα οδηγεί κάποιος τον χορό κουνώντας το μαντίλι;

2ο Παράδειγμα:

Αυτό με το ρίξιμο των τριών ζαριών.

Υπάρχουν δύο ενδεχόμενα: 1) Μας ενδιαφέρει η σειρά των ζαριών, θεωρούμε ότι έχουμε το 1ο, το 2ο και το 3ο, ας πούμε ότι τα ρίχνουμε σε

αριθμημένα κουτάκια. Δηλαδή θεωρούμε ότι είναι διαφορετικό αποτέλεσμα το 1-3-4

από το

, όπως δηλαδή αν μιλάγαμε για τριψήφιους αριθμούς που σχηματίζονται από τα ψηφία 1,2,3,4,5,6

. Τότε λοιπόν μιλάμε για Διατάξεις. 2) Δεν μας ενδιαφέρει η σειρά, ας πούμε ότι τα ρίχνουμε όλα σε ένα κουτί και βλέπουμε τι έφερε η ριξιά. Θεωρούμε ότι το 1-3-4

και το

είναι το ίδιο αποτέλεσμα. Τότε μιλάμε για Συνδυασμούς. Πώς όμως θα ξέρουμε αν η άσκηση ζητάει διατάξεις ή συνδυασμούς; Πιστεύω πως αν τα ζάρια δεν είναι ίδια, π.χ. έχουν άλλο χρώμα, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι μιλάμε για διατάξεις. Αν όμως η άσκηση λέει απλά ότι ρίχνουμε διαδοχικά τρία ζάρια; Αν λέει ότι τα ρίχνουμε ταυτόχρονα; Μπορούμε μόνο από αυτό να θεωρήσουμε ότι μιλάμε για διατάξεις ή για συνδυασμούς αντίστοιχα;

Γεια σου Χάρη! Ακριβώς στην κατάλληλη στιγμή!

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Αν ρίξουμε τρία ζάρια ταυτοχρόνως ...

Να υποθέσουμε λοιπόν ότι το "ταυτοχρόνως" σημαίνει ότι δεν μας ενδιαφέρει η διάταξη;
Δηλαδή το 2+3+4=9

και το

το μετράμε σαν ένα ενδεχόμενο;
Με τις πιθανότητες ακόμα προσπαθώ να ξεκαθαρίσω κάποια σημεία...

harrisp · #6

Γεια σου Διονύση!

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Γεια σου Χάρη! Ακριβώς στην κατάλληλη στιγμή!

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Αν ρίξουμε τρία ζάρια ταυτοχρόνως ...
Να υποθέσουμε λοιπόν ότι το "ταυτοχρόνως" σημαίνει ότι δεν μας ενδιαφέρει η διάταξη;
Δηλαδή το και το το μετράμε σαν ένα ενδεχόμενο;
Με τις πιθανότητες ακόμα προσπαθώ να ξεκαθαρίσω κάποια σημεία...

Πολύ ενδιαφέροντα τα θέματα που ανέφερες. Για να απαντήσω στο ερώτημά σου ναι θα τα λάβουμε σαν ένα ενδεχόμενο.

___________________________________________

Το παρακάτω βίντεο αναφέρεται σ΄ενα πολύ γνωστό παιχνίδι με ζάρια. Είναι πολύ ενδιαφέρον!

https://www.youtube.com/watch?v=oLls20X3AqE

KARKAR · #7

Σήμερα έβλεπα το τηλεπαιγνίδι "DEAL", στο οποίο καθημερινά κληρώνεται ένας παίχτης από τους

.

Αν κάποιος κληρωθεί κάποια φορά , στη συνέχεια αποχωρεί , ενώ οι υπόλοιποι συμμετέχουν στην

επόμενη κλήρωση , αφού συμπληρωθεί η 22άδα με ένα νέο παίχτη . Μου γεννήθηκε λοιπόν το ερώτημα :

Αν κάποιος έχει το κουράγιο να συμμετάσχει σε μέχρι και 22 κληρώσεις ,

ποια είναι η πιθανότητα να μην κληρωθεί σε καμία ;

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #8

KARKAR έγραψε:Σήμερα έβλεπα το τηλεπαιγνίδι "DEAL", στο οποίο καθημερινά κληρώνεται ένας παίχτης από τους .

Αν κάποιος κληρωθεί κάποια φορά , στη συνέχεια αποχωρεί , ενώ οι υπόλοιποι συμμετέχουν στην

επόμενη κλήρωση , αφού συμπληρωθεί η 22άδα με ένα νέο παίχτη . Μου γεννήθηκε λοιπόν το ερώτημα :

Αν κάποιος έχει το κουράγιο να συμμετάσχει σε μέχρι και 22 κληρώσεις ,

ποια είναι η πιθανότητα να μην κληρωθεί σε καμία ;

Μάλλον σε 21 κληρώσεις...

Μάλλον έχουμε 2 τρόπους:

Ο κατευθείαν: $\dfrac{1}{22}$ αφού τελικά θα νικήσει ο ένας στους 22.

Ο πιο αναλυτικός: $\dfrac{21}{22} \cdot \dfrac{20}{21} \cdot \dfrac{19}{20} \cdot ... \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{22}$ αφού στην 1η κλήρωση η πιθανότητα να μην κληρωθεί είναι $\dfrac{21}{22}$ , στην 2η είναι $\dfrac{20}{21}$ , κ.ο.κ.

ealexiou · #9

Πρόκειται για διωνυμική κατανομή ενός πειράματος που επαναλαμβάνεται

φορές με πιθανότητα επιτυχίας $\dfrac{1}{22}$ και πιθανότητα αποτυχίας $1-\dfrac{1}{22}=\dfrac{21}{22}$ και το ζητούμενο είναι η πιθανότητα για

επιτυχίες. Οπότε στον γενικό τύπο:

$P( X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$

για $n=22,\ k=0,\ p=\dfrac{1}{22}$ και $1-p=\dfrac{21}{22}$

έχουμε $P(X=0)=C(22,0)\cdot \left(\dfrac{1}{22}\right)^0\left(\dfrac{21}{22}\right)^{22}=0.3593565.....$

Αλλά επειδή στο συγκεκριμένο ερώτημα του Θανάση τα πράγματα είναι απλά πάμε κατευθείαν και χωρίς τύπους. Αφού η πιθανότητα να μην κληρωθεί είναι $\dfrac{21}{22}$ και αυτό να συμβεί

φορές συνεχόμενα έχουμε (πολλαπλασιαστική αρχή) $P(0)=\left(\dfrac{21}{22}\right)^{22}=0.3593565.....$

harrisp · #10

Ένα λίγο παρόμοιο:

Ποια ειναι η πιθανότητα να έρθει μονο ενα δυάρι μετα απο 100 ζαριές;

Ας βρούμε και την γενίκευση για εναν αριθμό από το 1 έως το 6 και ν ζαριές

ealexiou · #11

KARKAR έγραψε:Σήμερα έβλεπα το τηλεπαιγνίδι "DEAL", στο οποίο καθημερινά κληρώνεται ένας παίχτης από τους .

Αν κάποιος κληρωθεί κάποια φορά , στη συνέχεια αποχωρεί , ενώ οι υπόλοιποι συμμετέχουν στην

επόμενη κλήρωση , αφού συμπληρωθεί η 22άδα με ένα νέο παίχτη . Μου γεννήθηκε λοιπόν το ερώτημα :

Αν κάποιος έχει το κουράγιο να συμμετάσχει σε μέχρι και 22 κληρώσεις ,

ποια είναι η πιθανότητα να μην κληρωθεί σε καμία ;

Διονύση διάβασε την πρόταση με τα κόκκινα γράμματα.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #12

ealexiou έγραψε:
KARKAR έγραψε:Σήμερα έβλεπα το τηλεπαιγνίδι "DEAL", στο οποίο καθημερινά κληρώνεται ένας παίχτης από τους .

Αν κάποιος κληρωθεί κάποια φορά , στη συνέχεια αποχωρεί , ενώ οι υπόλοιποι συμμετέχουν στην

επόμενη κλήρωση , αφού συμπληρωθεί η 22άδα με ένα νέο παίχτη . Μου γεννήθηκε λοιπόν το ερώτημα :

Αν κάποιος έχει το κουράγιο να συμμετάσχει σε μέχρι και 22 κληρώσεις ,

ποια είναι η πιθανότητα να μην κληρωθεί σε καμία ;
Διονύση διάβασε την πρόταση με τα κόκκινα γράμματα.

Η αλήθεια είναι ότι αυτό το σημείο ούτε που το πρόσεξα!

Επίσης αυτό δείχνει ότι δεν βλέπω το "DEAL"...

Τύποι Συνδυαστικής

Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Re: Τύποι Συνδυαστικής

Μέλη σε σύνδεση