Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2699
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 01, 2016 7:01 pm

Θεωρούμε τα τρίγωνα ABC,A_{1}B_{1}C_{1}
τα οποία είναι αντιρρόπως ίσα.
(δυο τρίγωνα είναι αντιρρόπως ίσα αν στο επίπεδο κάνοντας μια στροφή, μια συμμετρία ως προς ευθεία και μια μεταφορά
μπορούμε να φέρουμε το ένα πάνω στο άλλο.Ενω είναι ομορρόπως ίσα αν στο επίπεδο κάνοντας μια στροφή και μια μεταφορά
μπορούμε να φέρουμε το ένα πάνω στο άλλο . )
Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των AA_{1},BB_{1},CC_{1}
βρίσκονται στην ίδια ευθεία.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Νοέμ 02, 2016 4:33 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Θεωρούμε τα τρίγωνα ABC,A_{1}B_{1}C_{1} τα οποία είναι αντιρρόπως ίσα.
(δυο τρίγωνα είναι αντιρρόπως ίσα αν στο επίπεδο κάνοντας μια στροφή, μια συμμετρία ως προς ευθεία και μια μεταφορά μπορούμε να φέρουμε το ένα πάνω στο άλλο.Ενω είναι ομορρόπως ίσα αν στο επίπεδο κάνοντας μια στροφή και μια μεταφορά μπορούμε να φέρουμε το ένα πάνω στο άλλο . ) Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των AA_{1},BB_{1},CC_{1} βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Στο σχήμα απεικονίζονται τα αντιρρόπως ίσα τρίγωνα \vartriangle ABC,\vartriangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}

\bullet \vartriangle ABC\xrightarrow{{\sigma \tau \rho o\varphi \eta \,\,\delta \varepsilon \xi \iota \alpha \,\,\kappa \alpha \tau \alpha \,\,\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\theta }} \vartriangle A'B'C'\xrightarrow{{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,\varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \,\,\left( \varepsilon  \right)}} \vartriangle {{A'}_1}{{B'}_1}{{C'}_1}\xrightarrow{{\mu \varepsilon \tau \alpha \varphi o\rho \alpha \,\,\kappa \alpha \tau \alpha \,\,\delta \iota \alpha \nu \upsilon \sigma \mu \alpha \,\,\delta }}\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}.

Έστω M,N,P τα μέσα των A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}} και ας είναι D,E τα συμμετρικά των {{B}_{1}},{{C}_{1}} ως προς το M.

Τότε \vartriangle ADE\mathop  = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \kappa \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,M} \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1} = \vartriangle ABC \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \boxed{\angle ADE = \angle ABC}:\left( 1 \right) \hfill \\ 
  \boxed{\angle AED = \angle ACB}:\left( 2 \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
[attachment=0]Αντιρόπως ίσα τρίγωνα..png[/attachment]
\bullet Επίσης AE = {A_1}{C_1} = AC \Rightarrow \boxed{\angle AEC = \angle ACE}:\left( 3 \right) και AD = {A_1}{B_1} = AB \Rightarrow \boxed{\angle ADB = \angle ABD}:\left( 4 \right).

Από \left\{ \begin{gathered} 
  \left( 1 \right) + \left( 4 \right) \Rightarrow \angle EDB = \angle CBD \hfill \\ 
  \left( 2 \right) + \left( 3 \right) \Rightarrow \angle DEC = \angle BCE \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \mathop  \Rightarrow \limits^{\angle EDB + \angle CBD + \angle DEC + \angle BCE = {{360}^0}\,\,\,(\gamma \omega \nu \iota \varepsilon \varsigma \,\,\tau \varepsilon \tau \rho \alpha \pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o\upsilon )} 2\left( {\angle BDE + \angle DEC} \right) = {360^0} \Rightarrow

\angle BDE + \angle DEC = {180^0}\mathop  \Rightarrow \limits^{\varepsilon \nu \tau o\varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \pi \iota \,\,\tau \alpha \,\,\alpha \upsilon \tau \alpha } \boxed{BD\parallel EC}:\left( 5 \right). Είναι \left\{ \begin{gathered} 
  MN\mathop \parallel \limits^{M,N\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,{B_1}D,{B_1}B} BD \\  
  MP\mathop \parallel \limits^{M,P\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,{C_1}E,{C_1}C} EC \\  
\end{gathered}  \right.

\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right):BD\parallel CE} MN\parallel MP \Rightarrow M,N,P συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης
Υ.Σ. Σταύρο θα μπορούσε να βρίσκεται και στο φάκελο της Α' Λυκείου αλλά τα αντιρρόπως όμοια τρίγωνα στο φάκελο της Β' Λυκείου
Συνημμένα
Αντιρόπως ίσα τρίγωνα..png
Αντιρόπως ίσα τρίγωνα..png (87.64 KiB) Προβλήθηκε 2638 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Νοέμ 03, 2016 6:18 pm

Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί με την χρήση μιγαδικών. Σίγουρα δεν το έχουν δει οι juniors. Δεν ξέρω μάλιστα αν αυτά που θα χρησιμοποιήσω τα έχουν δει οι seniors αλλά τουλάχιστον κάποιοι ξέρουν τι είναι οι μιγαδικοί.

Πιο συγκεκριμένα θα χρησιμοποιήσουμε το εξής:

1) Κάθε μετασχηματισμός στο επίπεδο ο οποίος είναι σύνθεση στροφών, μεταφορών και ανακλάσεων μπορεί να γραφτεί στην μορφή:
(α) z \mapsto e^{i\vartheta}z + a αν χρησιμοποιήθηκε άρτιος αριθμός ανακλάσεων
(β) z \mapsto e^{i\vartheta}\overline{z} + a αν χρησιμοποιήθηκε περιττός αριθμός ανακλάσεων
για κάποιο \vartheta \in [0,2\pi) και κάποιο a \in \mathbb{C}.

2) Για a,b,c \in \mathbb{C} με |a| = |b| \neq 0, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν την εξίσωση az + b\overline{z} + c = 0 είναι ευθεία.

Εδώ βρισκόμαστε στην περίπτωση 1(β). Οπότε το μέσο ενός μιγαδικού w και της εικόνας του ισούται με

\displaystyle{ \frac{1}{2}\left(e^{i\vartheta}\overline{w} + a + w \right)}

Όμως για κάθε z με \displaystyle{ z = \frac{1}{2}\left(e^{i\vartheta}\overline{w} + a + w \right)} έχουμε

\displaystyle{ e^{i\vartheta/2} \overline{z} - e^{-i\vartheta /2}z = \cdots  = \frac{1}{2}\left( e^{i\vartheta/2} \overline{a} - e^{i\vartheta/2}a\right)}

Άρα από το (2) τα μέσα των AA_1, BB_1 και CC_1 είναι συνευθειακά ευθεία. Στην ίδια ευθεία μάλιστα βρίσκεται και το μέσο της DD_1 όπου D οποιοδήποτε άλλο σημείο και D_1 η εικόνα του από τον ίδιο μετασχηματισμό.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Νοέμ 05, 2016 4:38 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Θεωρούμε τα τρίγωνα ABC,A_{1}B_{1}C_{1} τα οποία είναι αντιρρόπως ίσα.
(δυο τρίγωνα είναι αντιρρόπως ίσα αν στο επίπεδο κάνοντας μια στροφή, μια συμμετρία ως προς ευθεία και μια μεταφορά μπορούμε να φέρουμε το ένα πάνω στο άλλο. )
Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των AA_{1},BB_{1},CC_{1} βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Ας δούμε και μια πιο λάιτ απόδειξη στο ίδιο σκεπτικό της πιο πάνω γεωμετρικής απόδειξης.

\bullet Έστω {A}',{B}' τα συμμετρικά του {{C}_{1}} ως προς τα μέσα M,N των A{{A}_{1}},B{{B}_{1}} αντίστοιχα και {C}'\equiv {A}'A\cap {B}'B .

Με P το μέσο της C{C_1} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \boxed{MP\mathop \parallel \limits^{\vartriangle C{C_1}A'} CA'}:\left( 1 \right) \\  
  \boxed{NP\mathop \parallel \limits^{\vartriangle C{C_1}B'} CB'}:\left( 2 \right) \\  
\end{gathered}  \right.
[attachment=0]αντιρρόπως ίσα τρίγωνα.png[/attachment]
\bullet Είναι AA'\mathop  = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,M} {A_1}{C_1}\mathop  = \limits^{\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1} = \vartriangle ABC} AC \Rightarrow \angle ACA' = {90^0} - \dfrac{{\angle CAA'}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle CAA' = \angle AC'C + \angle ACC'\,\,(\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle ACC')}

\boxed{\angle ACA' = {{90}^0} - \frac{{\angle AC'C + \angle ACC'}}{2}}:\left( 3 \right) και με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι \boxed{\angle ACA' = {{90}^0} - \frac{{\angle BC'C + \angle BCC'}}{2}}:\left( 4 \right).

Από \left( 4 \right) + \left( 5 \right) \Rightarrow \angle ACA' + \angle ACA' = {180^0} - \dfrac{{\angle ACB + \angle AC'B}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{\angle ACB = \angle {A_1}{C_1}{B_1}\mathop  = \limits^{\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\iota \delta \iota o\upsilon \,\,\pi \rho o\sigma \alpha \nu \alpha \tau o\lambda \iota \sigma \mu o\upsilon } \angle AC'B}

\angle ACA' + \angle ACA' = {180^0} - \angle ACB \Rightarrow A',C,B' συνευθειακά οπότε από \left( 1 \right),\left( 2 \right) προκύπτει ότι και M,N,P είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχτεί.


Στάθης

Σημείωση: Με το ίδιο σκεπτικό αποδείχτηκε το Θεώρημα Droz – Farny , με ανάλογο σκεπτικό αποδείχτηκε στοιχειωδώς η Γενίκευση Θεωρήματος Droz – Farny,
ακόμα και αυτό αλλά και πολλά άλλα και με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται εύκολα και το Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα
Συνημμένα
αντιρρόπως ίσα τρίγωνα.png
αντιρρόπως ίσα τρίγωνα.png (37.72 KiB) Προβλήθηκε 2515 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες