Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε τα τρίγωνα $ABC,A_{1}B_{1}C_{1}$
τα οποία είναι αντιρρόπως ίσα.
(δυο τρίγωνα είναι αντιρρόπως ίσα αν στο επίπεδο κάνοντας μια στροφή, μια συμμετρία ως προς ευθεία και μια μεταφορά
μπορούμε να φέρουμε το ένα πάνω στο άλλο.Ενω είναι ομορρόπως ίσα αν στο επίπεδο κάνοντας μια στροφή και μια μεταφορά
μπορούμε να φέρουμε το ένα πάνω στο άλλο . )
Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$
βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Θεωρούμε τα τρίγωνα $ABC,A_{1}B_{1}C_{1}$ τα οποία είναι αντιρρόπως ίσα.
(δυο τρίγωνα είναι αντιρρόπως ίσα αν στο επίπεδο κάνοντας μια στροφή, μια συμμετρία ως προς ευθεία και μια μεταφορά μπορούμε να φέρουμε το ένα πάνω στο άλλο.Ενω είναι ομορρόπως ίσα αν στο επίπεδο κάνοντας μια στροφή και μια μεταφορά μπορούμε να φέρουμε το ένα πάνω στο άλλο . ) Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Στο σχήμα απεικονίζονται τα αντιρρόπως ίσα τρίγωνα $\vartriangle ABC,\vartriangle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$

$\bullet$ $\vartriangle ABC\xrightarrow{{\sigma \tau \rho o\varphi \eta \,\,\delta \varepsilon \xi \iota \alpha \,\,\kappa \alpha \tau \alpha \,\,\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\theta }}$ $\vartriangle A'B'C'\xrightarrow{{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,\varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \,\,\left( \varepsilon \right)}}$ $\vartriangle {{A'}_1}{{B'}_1}{{C'}_1}\xrightarrow{{\mu \varepsilon \tau \alpha \varphi o\rho \alpha \,\,\kappa \alpha \tau \alpha \,\,\delta \iota \alpha \nu \upsilon \sigma \mu \alpha \,\,\delta }}\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$ .

Έστω τα μέσα των $A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ και ας είναι τα συμμετρικά των ${{B}_{1}},{{C}_{1}}$ ως προς το .

Τότε $\vartriangle ADE\mathop = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \kappa \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,M} \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1} = \vartriangle ABC \Rightarrow$ $\left\{ \begin{gathered} \boxed{\angle ADE = \angle ABC}:\left( 1 \right) \hfill \\ \boxed{\angle AED = \angle ACB}:\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$
[attachment=0]Αντιρόπως ίσα τρίγωνα..png[/attachment]
$\bullet$ Επίσης $AE = {A_1}{C_1} = AC \Rightarrow \boxed{\angle AEC = \angle ACE}:\left( 3 \right)$ και $AD = {A_1}{B_1} = AB \Rightarrow \boxed{\angle ADB = \angle ABD}:\left( 4 \right)$ .

Από $\left\{ \begin{gathered} \left( 1 \right) + \left( 4 \right) \Rightarrow \angle EDB = \angle CBD \hfill \\ \left( 2 \right) + \left( 3 \right) \Rightarrow \angle DEC = \angle BCE \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\angle EDB + \angle CBD + \angle DEC + \angle BCE = {{360}^0}\,\,\,(\gamma \omega \nu \iota \varepsilon \varsigma \,\,\tau \varepsilon \tau \rho \alpha \pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o\upsilon )}$ $2\left( {\angle BDE + \angle DEC} \right) = {360^0} \Rightarrow$

$\angle BDE + \angle DEC = {180^0}\mathop \Rightarrow \limits^{\varepsilon \nu \tau o\varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \pi \iota \,\,\tau \alpha \,\,\alpha \upsilon \tau \alpha } \boxed{BD\parallel EC}:\left( 5 \right)$ . Είναι $\left\{ \begin{gathered} MN\mathop \parallel \limits^{M,N\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,{B_1}D,{B_1}B} BD \\ MP\mathop \parallel \limits^{M,P\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,{C_1}E,{C_1}C} EC \\ \end{gathered} \right.$

$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right):BD\parallel CE} MN\parallel MP \Rightarrow M,N,P$ συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης
Υ.Σ. Σταύρο θα μπορούσε να βρίσκεται και στο φάκελο της Α' Λυκείου αλλά τα αντιρρόπως όμοια τρίγωνα στο φάκελο της Β' Λυκείου

#3

Το ζητούμενο μπορεί να αποδειχθεί με την χρήση μιγαδικών. Σίγουρα δεν το έχουν δει οι juniors. Δεν ξέρω μάλιστα αν αυτά που θα χρησιμοποιήσω τα έχουν δει οι seniors αλλά τουλάχιστον κάποιοι ξέρουν τι είναι οι μιγαδικοί.

Πιο συγκεκριμένα θα χρησιμοποιήσουμε το εξής:

1) Κάθε μετασχηματισμός στο επίπεδο ο οποίος είναι σύνθεση στροφών, μεταφορών και ανακλάσεων μπορεί να γραφτεί στην μορφή:
(α) $z \mapsto e^{i\vartheta}z + a$ αν χρησιμοποιήθηκε άρτιος αριθμός ανακλάσεων
(β) $z \mapsto e^{i\vartheta}\overline{z} + a$ αν χρησιμοποιήθηκε περιττός αριθμός ανακλάσεων
για κάποιο $\vartheta \in [0,2\pi)$ και κάποιο $a \in \mathbb{C}$ .

2) Για $a,b,c \in \mathbb{C}$ με $|a| = |b| \neq 0$ , ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ικανοποιούν την εξίσωση $az + b\overline{z} + c = 0$ είναι ευθεία.

Εδώ βρισκόμαστε στην περίπτωση 1(β). Οπότε το μέσο ενός μιγαδικού

και της εικόνας του ισούται με

$\displaystyle{ \frac{1}{2}\left(e^{i\vartheta}\overline{w} + a + w \right)}$

Όμως για κάθε

με $\displaystyle{ z = \frac{1}{2}\left(e^{i\vartheta}\overline{w} + a + w \right)}$ έχουμε

$\displaystyle{ e^{i\vartheta/2} \overline{z} - e^{-i\vartheta /2}z = \cdots = \frac{1}{2}\left( e^{i\vartheta/2} \overline{a} - e^{i\vartheta/2}a\right)}$

Άρα από το (2) τα μέσα των AA_1, BB_1

και

είναι συνευθειακά ευθεία. Στην ίδια ευθεία μάλιστα βρίσκεται και το μέσο της DD_1

όπου

οποιοδήποτε άλλο σημείο και D_1

η εικόνα του από τον ίδιο μετασχηματισμό.

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Θεωρούμε τα τρίγωνα $ABC,A_{1}B_{1}C_{1}$ τα οποία είναι αντιρρόπως ίσα.
(δυο τρίγωνα είναι αντιρρόπως ίσα αν στο επίπεδο κάνοντας μια στροφή, μια συμμετρία ως προς ευθεία και μια μεταφορά μπορούμε να φέρουμε το ένα πάνω στο άλλο. )
Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Ας δούμε και μια πιο λάιτ απόδειξη στο ίδιο σκεπτικό της πιο πάνω γεωμετρικής απόδειξης.

$\bullet$ Έστω τα συμμετρικά του ${{C}_{1}}$ ως προς τα μέσα των $A{{A}_{1}},B{{B}_{1}}$ αντίστοιχα και ${C}'\equiv {A}'A\cap {B}'B$ .

Με το μέσο της $C{C_1} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \boxed{MP\mathop \parallel \limits^{\vartriangle C{C_1}A'} CA'}:\left( 1 \right) \\ \boxed{NP\mathop \parallel \limits^{\vartriangle C{C_1}B'} CB'}:\left( 2 \right) \\ \end{gathered} \right.$
[attachment=0]αντιρρόπως ίσα τρίγωνα.png[/attachment]
$\bullet$ Είναι $AA'\mathop = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,M} {A_1}{C_1}\mathop = \limits^{\vartriangle {A_1}{B_1}{C_1} = \vartriangle ABC} AC$ $\Rightarrow \angle ACA' = {90^0} - \dfrac{{\angle CAA'}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{\angle CAA' = \angle AC'C + \angle ACC'\,\,(\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\vartriangle ACC')}$

$\boxed{\angle ACA' = {{90}^0} - \frac{{\angle AC'C + \angle ACC'}}{2}}:\left( 3 \right)$ και με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι $\boxed{\angle ACA' = {{90}^0} - \frac{{\angle BC'C + \angle BCC'}}{2}}:\left( 4 \right)$ .

Από $\left( 4 \right) + \left( 5 \right) \Rightarrow \angle ACA' + \angle ACA' = {180^0} -$ $\dfrac{{\angle ACB + \angle AC'B}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{\angle ACB = \angle {A_1}{C_1}{B_1}\mathop = \limits^{\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\iota \delta \iota o\upsilon \,\,\pi \rho o\sigma \alpha \nu \alpha \tau o\lambda \iota \sigma \mu o\upsilon } \angle AC'B}$

$\angle ACA' + \angle ACA' = {180^0} - \angle ACB \Rightarrow A',C,B'$ συνευθειακά οπότε από $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ προκύπτει ότι και είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχτεί.

Στάθης

Σημείωση: Με το ίδιο σκεπτικό αποδείχτηκε το Θεώρημα Droz – Farny , με ανάλογο σκεπτικό αποδείχτηκε στοιχειωδώς η Γενίκευση Θεωρήματος Droz – Farny,
ακόμα και αυτό αλλά και πολλά άλλα και με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται εύκολα και το Αντιρρόπως όμοια τρίγωνα

Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

Re: Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

Re: Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

Re: Αντιρρόπως ίσα τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση