Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 2912 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=2R

ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο

, από

το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Για σημείο

του τόξου $\overset{\frown}{AT}$ , η

είναι η διχοτόμος της $\widehat{AST}$ . Φέρω $TQ \perp SP$ . Υπολογίστε το μέγιστο του (TPQ)

KARKAR · #2

Αν εικάσουμε το αποτέλεσμα , ίσως βρούμε και την λύση . Λοιπόν : $(TPQ)_{max}=\dfrac{R^2}{4}$

: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου.png (14.35 KiB) Προβλήθηκε 1503 φορές

Ας θεωρήσουμε ότι : R=4

. Σύμφωνα με την εικασία , πρέπει $(TPQ)_{max}=4$ .

Ας δημιουργήσουμε ένα τέτοιο τρίγωνο : Θεωρούμε το

, τέτοιο ώστε : $\widehat{AOP}=45^0$ .

Έστω $\widehat{TPQ}=22,5^0$ και PT=a

.

Πρέπει : $(TPQ)=4\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}acos22,5\cdot asin22,5=4\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}a^2\cdot2cos22.5sin22.5=4$

$... \Leftrightarrow a=4\sqrt[4]{2}$ . έτσι εντοπίσαμε το

. Η εφαπτομένη στο

, τέμνει την προέκταση

της

στο

. Και - τι τύχη ! - η

είναι η διχοτόμος της $\widehat{TSA}$ .

Φαίνεται ότι πρόκειται για δύσκολο θέμα . Θεωρήστε τα παραπάνω , αν όχι ως συμβολή στην λύση ,

τουλάχιστον ως ενδιαφέρον υλικό για νέες ασκήσεις !

#3

Μία παρατήρηση: Για οποιαδήποτε θέση του

είναι $\displaystyle Q\widehat TB = 45^\circ$ (Δεν ξέρω αν σημαίνει κάτι. Θα το διερευνήσω).

KARKAR · #4

: alyto.png (20.04 KiB) Προβλήθηκε 1142 φορές

Από το ορθογώνιο τρίγωνο TOS

, παίρνουμε : $ST=\dfrac{R}{\tan 2x} , SO=\dfrac{R}{\sin 2x}$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο TQS

, παίρνουμε : $TQ=ST\sin x=\dfrac{R\sin x}{\tan 2x} , SQ=ST\cos x=\dfrac{R\cos x}{\tan 2x}$ .

Με νόμο συνημιτόνου στο POS

, προκύπτει : $SP^2-2\cdot SO\cos x\cdot SP+SO^2-R^2=0$ ,

οπότε ( τριώνυμο ) : $SP=R(\dfrac{\cos x}{\sin 2x}+\dfrac{\sqrt{\sin^2(2x)+\cos^2 x-1}}{\sin 2x}$ ) .

Και επομένως : $PQ=SP-SQ=R(\dfrac{\cos x+\sqrt{\sin^2 x+\cos^2 x-1}}{\sin2x}-\dfrac{\cos x}{\tan 2x})$ .

Είναι λοιπόν : $E(x)=\dfrac{R^2}{2}[\dfrac{\sin x}{\tan 2x}(\dfrac{cos x+\sqrt{\sin^2(2x)+\cos^2 x-1}}{\sin2x}-\dfrac{\cos x}{\tan 2x})]$

και με χρήση τριγ. ταυτοτήτων καταλήγουμε στην : $E(x)=\dfrac{R^2}{2}(\dfrac{\cos 2x(\sin2x+\sqrt{4\cos^2 x-1}}{4\cos^2 x})$

με : $f(x)=\dfrac{\cos 2x(\sin 2x+\sqrt{4\cos^2 x-1}}{4\cos^2 x}$ , η οποία έχει όντως μέγιστο το $\dfrac{1}{2}$ , για $x\simeq 0,244073 (\simeq 13.98438^0 )$ .

Απομένουν δύο εκκρεμότητες : α) Μήπως μπορούμε να βελτιώσουμε τον τύπο της

, ώστε να γίνει διαχειρίσιμη

με παράγωγο και ... β) Πώς προκύπτει ότι στη στιγμή της μεγιστοποίησης , είναι : $\widehat{AOP}=45^0$ ;

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 12, 2021 7:29 am

Απομένουν δύο εκκρεμότητες : α) Μήπως μπορούμε να βελτιώσουμε τον τύπο της , ώστε να γίνει διαχειρίσιμη

με παράγωγο και ...

Θέτοντας $\displaystyle \frac{{OS}}{R} = t$ προκύπτει $\displaystyle f(t) = \frac{{\sqrt {{t^2} - 1} \left( {1 + \sqrt {{t^2} + 2t\sqrt {{t^2} - 1} } } \right)}}{{2t\left( {t + \sqrt {{t^2} - 1} } \right)}}$ που δίνει μέγιστη τιμή $\dfrac{1}{2}$

για $\displaystyle t = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {5 + 4\sqrt 2 } } \right),$ ή $\displaystyle OS = \frac{R}{2}\left( {1 + \sqrt {5 + 4\sqrt 2 } } \right)$

#6

george visvikis έγραψε: Κυρ Δεκ 12, 2021 10:40 am
KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 12, 2021 7:29 am

Απομένουν δύο εκκρεμότητες : α) Μήπως μπορούμε να βελτιώσουμε τον τύπο της , ώστε να γίνει διαχειρίσιμη

με παράγωγο και ...
Θέτοντας $\displaystyle \frac{{OS}}{R} = t$ προκύπτει $\displaystyle f(t) = \frac{{\sqrt {{t^2} - 1} \left( {1 + \sqrt {{t^2} + 2t\sqrt {{t^2} - 1} } } \right)}}{{2t\left( {t + \sqrt {{t^2} - 1} } \right)}}$ που δίνει μέγιστη τιμή $\dfrac{1}{2}$

για $\displaystyle t = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {5 + 4\sqrt 2 } } \right),$ ή $\displaystyle OS = \frac{R}{2}\left( {1 + \sqrt {5 + 4\sqrt 2 } } \right)$

Εδώ είναι που λένε : «Το ένα χέρι πλύνει τ' άλλο και τα δυο το πρόσωπο» (για τον Θανάση και για το Γιώργο)

Δεν την είχα προσέξει καθόλου . Κράτησε όμως χρόνια αυτή η κολόνια!!

#7

Σ' ευχαριστώ πολύ Νίκο για το χειροκρότημα. Ούτε εγώ την θυμόμουν αυτή την άσκηση.

Να εικάσω ότι ο Θανάσης εμπνεύστηκε από την παρούσα, την δεν μπορεί να είναι σύμπτωση;

KARKAR · #8

Ασφαλώς Γιώργο , άλλωστε το αναφέρω σαφώς στο #

, της δημοσίευσης που παραπέμπεις .

Ο καημός μου πάντως είναι εκείνη η γωνία των 45^0

#9

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 12, 2021 12:09 pm Ασφαλώς Γιώργο , άλλωστε το αναφέρω σαφώς στο # , της δημοσίευσης που παραπέμπεις .

Ο καημός μου πάντως είναι εκείνη η γωνία των

Δεν είχα προσέξει καθόλου την παραπομπή. Είχα εστιάσει στην σκιαγράφηση της λύσης.
Όσο για τη γωνία, μη βιάζεσαι. Κάτι θα γίνει...

#10

Υποθέτω ότι $\displaystyle A\widehat OP = 45^\circ$ και θα δείξω ότι $\displaystyle t = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {5 + 4\sqrt 2 } } \right),$ όπου $\displaystyle t = \frac{{OS}}{R}$

(η θέση που μεγιστοποιείται το (TPQ)

όπως έχει δειχθεί στην #5 με τη βοήθεια της #4).

: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 1049 φορές

$\displaystyle \tan 2x = \frac{R}{{\sqrt {{t^2}{R^2} - {R^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{t^2} - 1} }} = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\sqrt {{t^2} - 1} \tan x - 1 = 0,$

απ' όπου $\boxed{\tan x = t - \sqrt {{t^2} - 1} }$ (1)

Αλλά, $\displaystyle \tan x = \frac{{PE}}{{ES}} = \frac{{\frac{{R\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{R\sqrt 2 }}{2} + tR}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2t + \sqrt 2 }} = \frac{1}{{t\sqrt 2 + 1}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {t^2}\sqrt 2 + t - 1 = \sqrt {{t^2} - 1} \left( {t\sqrt 2 + 1} \right)$

Υψώνω στο τετράγωνο και καταλήγω στην $\displaystyle \left( {\sqrt 2 - 1} \right){t^2} - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)t - 1 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{t > 0} t = \frac{{\sqrt 2 - 1 + \sqrt {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 3} \right)} }}{{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}$

Πολλαπλασιάζω τους όρους του κλάσματος με $\sqrt 2+1$ και προκύπτει $\displaystyle t = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {5 + 4\sqrt 2 } } \right),$

που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση