1 ή 0

#1

Ίσως να έχει συζητηθεί ξανά. Ίσως πάλι να φαίνεται πολύ εύκολη για το φάκελο. Την έβαλα όμως εδώ επειδή έχει διαφορετικές προσεγγίσεις και αναζητούσα ένα φάκελο με "Γενικά" (όχι όμως φάκελο του καθηγητή).

Για τους πραγματικούς αριθμούς a, b, c, d

, δίνονται οι παρακάτω σχέσεις:

● $\displaystyle{{a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2} = 1}$

● ac+bd=0

Να αποδείξετε ότι: a^2+c^2=b^2+d^2=1

και

Η άσκηση αντιμετωπίζεται με ύλη διαφορετικών τάξεων, αλλά και διαφορετικού κλάδου των Μαθηματικών και ως γνωστόν βέβαια, ισχύει το 48ωρο!

harrisp · #2

Καλησπέρα!

1)

ab+cd=ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)=abc^2+abd^2+a^2cd+b^2cd=bc(ac+bd)+ad(bd+ac)=(ac+bd)(bc+ad)=0

2)

Αν

:

τότε $ac+bd=0\Leftrightarrow ac=0$ .Οποτε, επειδή από την εκφώνηση δεν μπορεί να είναι a=0

ισχύει

και το ζητούμενο έπεται

Διαφορετικά:

$\dfrac {a} {b}=-\dfrac {d} {c}=m\Rightarrow a=bm, d=-cm$ . Από εκφώνηση:

$b^{2}m^{2}+b^{2}=c^{2}+c^{2}m^{2}\Rightarrow b^{2}=c^{2}$ . Οπότε:

$a^2+c^2=b^2+d^2={a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2} = 1$

#3

Έστω οι πίνακες $\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}}$ και $\displaystyle{ B = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d\end{pmatrix}}$ .

Από τα δεδομένα έχουμε AB = I

. Άρα είναι και BA = I

που δίνει το ζητούμενο.

#4

Ας δούμε ακόμη μία λύση:

Έστω οι μιγαδικοί z = a + bi

και

και έστω

οι εικόνες τους στο επίπεδο. Από τα δεδομένα έχουμε ότι τα A,B

ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο (αφού |z|^2 = a^2+b^2= 1

και

) και επιπλέον τα

και

είναι κάθετα μεταξύ τους (αφού ισχύει ότι $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow {OB} = ac + bd = 0$ ).

Άρα το

προκύπτει από το

με στροφή

μοιρών γύρω από την αρχή των αξόνων. (Είτε ωρολογιακά είτε αντιωρολογιακά.) Άρα $w = \pm iz$ . (Ο πολλαπλασιασμός με

δηλώνει αντιωρολογιακή στροφή

μοιρών.)

Αν w = iz

έχουμε

. Αν

έχουμε

. Και στις δύο περιπτώσεις το ζητούμενο είναι άμεσο.

KARKAR · #5

: trig.png (14.47 KiB) Προβλήθηκε 2095 φορές

1 ή 0

1 ή 0

Re: 1 ή 0

Re: 1 ή 0

Re: 1 ή 0

Re: 1 ή 0

Μέλη σε σύνδεση