Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

dimplak · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $\hat{B} = 120^o$ και $BD \perp BA$ όπου

σημείο της πλευράς

.

Αν

, να υπολογίσετε το τμήμα

.

big-pitsirikos · #2

dimplak έγραψε:Δίνεται τρίγωνο με $\hat{B} = 120^o$ και $BD \perp BA$ όπου σημείο της πλευράς .

Αν , να υπολογίσετε το τμήμα .

Αν $\widehat{BAC}=\varphi$ , τότε $\widehat{DCB}=60-\varphi$ . Έστω ακόμη AD=x, BD=y

Με νόμο ημιτόνων στο BAC

, $\sin(60-\varphi)=\dfrac{\sqrt{3}}{2x+2}$ , και με νόμο ημιτόνων στο BCD

, $\sin(60-\varphi)=\dfrac{y}{2}$ .

Άρα, $\dfrac{\sqrt{3}}{2x+2}=\dfrac{y}{2} \Leftrightarrow \boxed{(x+1)y=\sqrt{3}}$ (1).

Με Π.Θ., $\boxed{x^2=y^2+1}$ (2).

Λύνουμε το σύστημα των (1), (2) και παίρνουμε $AD=x=\sqrt[3]{2}$ .

#3

dimplak έγραψε:Δίνεται τρίγωνο με $\hat{B} = 120^o$ και $BD \perp BA$ όπου σημείο της πλευράς .

Αν , να υπολογίσετε το τμήμα .

: length-dimplak.1.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 1186 φορές

Φέρνω $\displaystyle{AE,DH \bot BC}$ και έχω: $\displaystyle{DH||AE \Leftrightarrow \frac{{DH}}{{AE}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{x^4} + 2{x^3} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^3}(x + 2) - 2(x + 2) = 0 \Leftrightarrow (x + 2)({x^3} - 2) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} }$ $\boxed{x = \sqrt[3]{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

dimplak έγραψε:Δίνεται τρίγωνο με $\hat{B} = 120^o$ και $BD \perp BA$ όπου σημείο της πλευράς .

Αν , να υπολογίσετε το τμήμα .

Με $\displaystyle{EC \bot AC \Rightarrow BDCE}$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow \angle DBC = \angle DEC = {30^0} \Rightarrow DE = 2}$ και $\displaystyle{EC = \sqrt 3 }$

$\displaystyle{\vartriangle ABC \simeq \vartriangle ADE \Rightarrow \frac{{AE}}{{x + 1}} = \frac{x}{1} \Rightarrow AE = {x^2} + x}$ και

με Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle ACE \Rightarrow {\left( {{x^2} + x} \right)^2} = {(x + 1)^2} + 3 \Leftrightarrow (x + 2)({x^3} - 2) = 0 \Leftrightarrow \boxed{x = \sqrt[3]{2}}}$ (αφού $\displaystyle{x > 0}$ )

: mt.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 1134 φορές

Ιστοσελίδα · #5

dimplak έγραψε:Δίνεται τρίγωνο με $\hat{B} = 120^o$ και $BD \perp BA$ όπου σημείο της πλευράς .

Αν , να υπολογίσετε το τμήμα .

Καλημέρα.

: Μήκος-τμήματος-σε-πλευρά-τριγώνου.png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

Αν $DE \bot BD$ , τότε από $\triangleleft CDE \sim \triangleleft CAB \Rightarrow DE = \dfrac{1}{{x + 1}}$

Από $\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\mathop = \limits^{\varepsilon \varphi {{30}^ \circ }} \dfrac{{DE}}{{BD}} \Rightarrow BD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{x + 1}}$ και από Π.Θ. στο $\triangleleft ADB:{x^2} = 1 + \dfrac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}$ με δεκτή λύση $x = \sqrt[3]{2}$

Υ.Γ(1) Με την τελευταία αναβάθμιση της Geogebra δε μου δουλεύει το latex. Συμβαίνει και σε άλλους ή μόνο σε μένα;

Υ.Γ(2) Για να σχεδιάσουμε κυβική ρίζα στη Geogebra χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση cbrt(x)

#6

Καλημέρα σε όλους.

Για το ωραίο αυτό θέμα

Δείτε Εδώ και άλλες απόψεις

Φιλικά Νίκος

Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

Re: Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

Re: Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

Re: Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

Re: Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

Re: Μήκος τμήματος σε πλευρά τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση