Εμβαδόν ορθογωνίου

KARKAR · #1

: Εμβαδόν ορθογωνίου.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2R

, σχεδιάσαμε το πράσινο ορθογώνιο

του σχήματος και διαπιστώσαμε ότι έχει εμβαδόν

. Αν αυξήσουμε το

κατά

, το εμβαδόν γίνεται

. Υπολογίστε την ακτίνα

#2

KARKAR έγραψε:Στο ημικύκλιο διαμέτρου , σχεδιάσαμε το πράσινο ορθογώνιο

του σχήματος και διαπιστώσαμε ότι έχει εμβαδόν . Αν αυξήσουμε το

κατά , το εμβαδόν γίνεται . Υπολογίστε την ακτίνα

Το πράσινο εμβαδόν είναι $\displaystyle{ZE \cdot (PE-DE) = 2x(R -\sqrt {R^2-x^2}) = 6}$ . Λύνοντας

$\displaystyle{ R = \frac {9+x^4}{6x}}$ .

Όμοια αν θέσουμε x+1=y

θα βρούμε $\displaystyle{ R = \frac {64+y^4}{16y} }$ .

Άρα $\displaystyle{ \frac {9+x^4}{6x} = \frac {64+y^4}{16y} = = \frac {64+(x+1)^4}{16(x+1)}}$

Προκύπτει μία πεμπτοβάθμια που παραγοντοποιήται ως

$\displaystyle{(x-3)( 5x^4+11x^3+15x^2+33x-24)=0}$

Το έκανα με λογισμικό μια και οι προσπάθειές μου να την επιλύσω (τουλάχιστον Σχολικά) δεν ευόδωσαν.

Έτσι η μία ρίζα είναι η x=3

. Υπάρχει μία αρνητική (απλό) που απορρίπτεται, δύο μιγαδικές και μία μεταξύ

και

(απλό).

Η τελευταία απορρίπτεται καθώς δίνει $\displaystyle{ R = \frac {9+x^4}{6x} \le \frac {9+1^4}{6x}}$ οπότε το εμβαδόν είναι

$\displaystyle{ 2x(R -\sqrt {R^2-x^2})\le 2xR \le \frac {2(9+1^4)}{6} < 6}$ . Άρα απορρίπτεται.

Τελικά x=3

που δίνει $\displaystyle{ R = \frac {9+3^4}{6\cdot 3} = 5 }$ (δεκτή με άμεσο έλεγχο).

Εμβαδόν ορθογωνίου

Εμβαδόν ορθογωνίου

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου

Μέλη σε σύνδεση