Διαδοχικοί όροι σε προόδους

Γιώργος Απόκης · #1

Nα βρεθούν οι $\displaystyle{x,y,z,w}$ που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν οι

αριθμοί $\displaystyle{x,y-3,z-5,w-5}$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

Edit : Είχα λάθος την τέταρτο όρο της γεωμετρικής (Ευχαριστώ το Διονύση Αδαμόπουλο)

(Άλγεβρα Α' - Μέχρι 28/11/16)

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω $\lambda$ ο λόγος της γεωμετρικής προόδου και $\omega$ η διαφορά της αριθμητικής προόδου.

Έχουμε πως $y=x+\omega, z=x+2\omega, w=x+3\omega$

Ακόμη, $y-3=x\lambda, z-5=x\lambda^2, w-5=x\lambda^3$

Αντικαθιστώντας τις τελευταίες σχέσεις με τις αρχικές, προκύπτει το εξής σύστημα:

$x+\omega-3=x\lambda$

$x+2\omega-5=x\lambda^2$

$x+3\omega-5=x\lambda^3$

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι $\lambda=\dfrac{\omega-3}{x}+1$

Κάνοντας αντικαταστάσεις του $\lambda$ στις υπόλοιπες εξισώσεις προκύπτει ότι $(\omega-3)^2=x\Rightarrow \omega=3 \pm \sqrt{x}$

και με αντικαταστάσεις του $\omega$ προκύπτει ότι x=1

, $\omega=4$ ή

και $\lambda=2$ ή

.

Παρόλα αυτά η περίπτωση $(x, \omega, \lambda)=(1, 2, 0)$ απορρίπτεται.

Αντίθετα δεχόμαστε την περίπτωση $(x, \omega, \lambda)=(1, 4, 2)$ , καθώς έχουμε (x, y, z, w)=(1, 5, 9, 13)

, που πληροί τις προϋποθέσεις της άσκησης.

Γιώργος Απόκης · #3

Διαδοχικοί όροι σε προόδους

Διαδοχικοί όροι σε προόδους

Re: Διαδοχικοί όροι σε προόδους

Re: Διαδοχικοί όροι σε προόδους

Μέλη σε σύνδεση